Autocallable产品的显式差分定价方法——离散观察日类型

华泰期货研究所 量化组 罗剑 量化研究员  0755-23614607  luojian@htfc.com 从业资格号：F3029622 投资咨询号：Z0012563 联系人： 张纪珩 量化研究员  0755-23993171  zhangjihang@htfc.com 从业资格号：F3047630 华泰期货|结构化产品专题报告 2018-09-18 2018-09-19 Autocallable产品的显式差分定价方法 ——离散观察日类型 摘要： Autocallable产品是一种结构化的票据或者收益凭证，因为具有捕捉挂钩标的敲出机会，同时又提供部分下行保护的特点，越来越受到投资者、投资顾问和产品提供商的欢迎。本文采用显式差分法对具有离散观察日期的autocallable结构化产品进行了数值求解,同时估算了我们设计的产品参数下产品价值，并与蒙特卡罗模拟的计算方法下的结果进行对比。 华泰期货|结构化产品专题报告 2018-09-19 2 / 9 Autocallable简介 Autocallable，也称为autocall，国内也称之为“凤凰型结构”，占据了近年来结构化产品市场的很大一部分。Autocallable往往具有与期初持平或者比期初更高的敲出水平，投资者可以在市场大幅反弹中得到提前终止收益的补偿，而不是在趋势中错失良机。如果标的资产的价值高于预先指定的敲出价格，自动敲出功能会导致产品被赎回 。因为具有自动敲出特点的结构化产品在被敲出后立即终止，因此这一特性缩短了产品的持续时间和预期到期日。 目前的许多产品都是挂钩于单一的指数标的，如果在某个观察日指数表现大于敲出水平，那么本交易发生自动敲出事件而自动终止，投资者得到预期的提前终止收益。即使在存续期间一直没有发生敲出事件，但产品存续期间内所有观察日，挂钩标的的收益表现水平均大于或等于敲入水平，投资者也会得到到期终止收益。 正因为以上的特点，投资者可以长期通过使用autocalls分散化他们的投资组合。许多投资者买各种各样的autocalls，期望他们在不同观察日的提前终止，或者把它们与其他普通的拥有固定到期日的结构化产品混合。这样，投资者可以预期得到交错的资本收益。 从根本上讲，一个autocallable的结构化产品类似于一个反式可转债的产品，该产品支付高的票面利率，以换取投资者暴露于标的证券的下行风险。尽管autocallable的存续期限往往比反式可转债产品长，但由于autocallable具有自动敲出事件的特性，其产品的存续期限可能更短。 这里假设一个简单的autocallable的结构化产品案例，来说明产品包括的要素。假设标的资产最初的价格S0和该autocallable产品的票面价值都是100元，自动敲出的障碍价格是110元，无风险利率r是5%。标的资产的波动率是20%，股息收益率是标的资产的1%，敲入障碍价格是80元。如果标的资产在某个自动敲出观察日收盘价格大于或等于自动敲出障碍价格，那么自动敲出事件被认为于当日发生自动敲出，本交易于该自动敲出观察日（“自动敲出提前终止日”）终止，投资者将会得到自动敲出结算收益率为10%的年收益率。如果产品存续期间一直没有发生敲出事件，则投资者获得到期终止收益率10%的收益。我们假定自动敲出观察日一共有12个，每个观察日间隔为1个月。 我们列出产品要素表格如下： 表1： 产品要素表 产品要素名称 要素内容 产品期限 一年 标的资产期初价格 100元 观察日 一共有12个，每个观察日间隔为1个月 华泰期货|结构化产品专题报告 2018-09-19 3 / 9 敲出水平 110元 敲入水平 80元 提前终止收益（年化） 10% 到期终止收益（年化） 10% 数据来源：华泰期货研究院 这里需要说明的式对于敲入事件，类似与敲入障碍期权，也分为“美式障碍”和“欧式障碍”。欧式障碍指在存续期最后标的的价格低于敲入水平，则算敲入事件，投资者承受该损失。美式障碍则指起始日到到期日间的每一个交易日，发生的低于敲入水平价格的事件都算敲入事件，那么到期末投资者可能承担损失。 这里说“可能”的原因是因为美式障碍中，发生敲入事件，且期末价格低于期初价格，才会造成负的收益。例如期末标的价格为ST ，期初为S0 ，如果满足ST< S0 ，那么期末收益率为（STS0−1）。本文中产品敲入类型为欧式障碍。 损益情景分析 对于表格一中假设的合约要素，收益赔付图如下： 图1 ：收益赔付图 数据来源：华泰期货研究院 敲出水平110 10%年化 敲入水平80 华泰期货|结构化产品专题报告 2018-09-19 4 / 9 可以看出，如果发生敲出事件，则投资者损益为：保证金返还 + 敲出收益金额；如果既没敲出也没敲入，则损益为：保证金返还 + 红利收益金额；如果敲入且未敲出，损益为：保证金返还 +（期末价格/期初价格－1）*名义本金。 我们这里列出一下5种情况，概述投资者的在不同标的表现下的收益情况。 表2： 产品要素表 标的表现 图示 收益特征 无敲入 有敲出 提前敲出结束，本金+年化10%票息 ，指数上行，获利了结 有敲入 有敲出 提前敲出结束，本金+年化10%票息 震荡行情，较难把握交易机会，承担适当风险获得收益补偿 有敲入 期末敲出 持有到期，本金+年化10%票息 震荡行情，较难把握交易机会，承担 适当风险获得收益补偿 无敲入 无敲出 持有到期，本金+年化10%票息 震荡行情，承担适当风险获得收益补偿，相较持有指数可增厚收益 有敲入 无敲出 本情况下产生本金亏损且无法获取票息收益。收益表现水平=期末观察日挂钩标的收盘价格/期初价格。极端情况下本金可能全部损失 数据来源：华泰期货研究院 定价方法 根据观察日设置的不同，autocallable 结构产品可以分为离散观察日（discrete call dates）类型和连续观察日类型（continuously call dates）。离散观察日指敲出观察日设置为有间隔的若干个，连续观察日指在产品期限内的每个交易日都为敲出观察日。 为了简便起见，在没有其他一般性损失的条件下，我们假设一个autocallable结构收益产品的初始价值与其相关联的资产价格S0相等。例如，当结构性产品没有敲出，则到期时的payoff f(ST) 可以看作挂钩资产价值 V 的函数： V(ST,T)=f(ST), (1) 时间 敲出100% 敲入80% 敲出100% 敲入80% 敲出100% 敲入80% 敲出100% 敲入80% 敲出100% 敲入80% 时间 时间 时间 时间 华泰期货|结构化产品专题报告 2018-09-19 5 / 9 对于离散观察日类型，数值解的边界条件可以表示为以下等式： V(C,t)=Pt for all t ∈풯 , V(0,t)=f(0)e−r(T−t), f(0)=0. (2) 其中，C 是向上敲出的价格, r为无风险利率，Pt 是当发生敲出事件后最终的payoff ， 根据敲出后提前终止收益率的不同而进行调整，풯 则是一系列离散的观察日期。 第一个约束条件要求产品价值在任何一个观察日期从未超过约定的敲出价格。第二个约束等式条件表明如果相关资产价格跌至零，那么该产品价值会一直维持在零。这个边界条件保证了如果挂钩资产变得毫无价值后，则该结构化产品也不会再被敲出。 大多数离散观察日的autocallables 没有解析解。这里为解PDE，我们采用数值方法。最常用的数值解方法就是有限差分，也就是将所有变量构造一个网格，然后利用网格上的差分方法来估计偏导数。 首先，我们知道假设资产价格遵循对数正态随机游走，由Black-Scholes 等式可以推到出一个结构化产品动态价值的偏微分方程，如下： ∂V∂t+12σ2S2∂2V∂s2+(r−q)S∂V∂S−rV=0, (3) 其中q 为股息。 在（3）中V对S求导，然后乘以S，得到非常量系数。同样，这个方程显然是反向的，最后的数据在t= T时给出. 根据（2）的边值条件，结合（3），为了使方程无量纲，采用如下变换： S=Cex，t=T−2τσ2， V(S,t)=Ceαx+βxu(x,τ)+f(0)e−r(T−t) (4) 其中的常量为： k1=2(r−q)σ2，α=−12(k1−1)， β=−α2−2r62 . (5) 这里需要说明，对于拥有大量参数的金融物理微分方程，大多数解法的前期步骤是用“典型值”对因变量和自变量进行缩放，以便尽可能地收集这些参数。在(4) 中我们用唯一可用 华泰期货|结构化产品专题报告 2018-09-19 6 / 9 的先验典型值C来缩放S和V。引入这样的无量纲参数是十分重要的，例如对于这样的展开eS=1+S+12S2+⋯，如果S是量纲量，那么这样的展开是没有意义的。因为对于资产的绝对变化， dS, 是有量纲的，但对于相对变化，dSS，是没有量纲的。通过这样的化简，我们能够得到独立的任意常数的真实个数。如果产生的无量纲参数中的一个参数非常大或非常小，我们可能随后能够利用它来构造一个有用的近似解。 在Black-Scholes 等式中r 和 σ2 有共同的单位，（时间）-1，例如（年）-1，（天）-1等。那么可以看出，在（5）中，k1=2(r−q)σ2 是无量纲的参数，这也是在香草期权的基本问题中唯一的无量纲参数。 经过变换，Black-Scholes等式转换成一个标准的热力学方程： ∂u