量化策略专题报告：两种亚式期权类型的对冲方法研究

华泰期货研究所 量化组 罗剑 量化研究员  0755-23614607  luojian@htfc.com 从业资格号：F3029622 投资咨询号：Z0012563 华泰期货研究院 量化组 张纪珩 量化研究员  0755-23993171  zhangjihang@htfc.com 从业资格号：F3047630 华泰期货|量化策略专题报告 2019-06-03 两种亚式期权类型的对冲方法研究 摘要： 亚式期权产品要素包括挂钩资产、资产运行期间平均价格、执行价、挂钩资产波动率、无风险利率、产品期限以及产品规模。这些要素相互联系并且相互制约。挂钩资产、执行价、挂钩资产波动率、无风险利率以及产品期限则决定了亚式期权的理论价格，同时也影响对冲策略的交易成本。根据亚式期权的结构特点，可以将亚式期权区分为每日连续取样和取样点离散的类型。本文根据这两种亚式期权的结构特点设计出对应的期权产品模型，采用传统的对冲方法以及基于效用的对冲方法进行测试，并对结果进行对比分析。 华泰期货|量化策略专题报告 2019-06-03 2 / 11 算术平均标的价的亚式期权 期权又称为选择权，是一种衍生性金融工具。是指买方向卖方支付期权费（指权利金）后拥有的在未来一段时间内或未来某一特定日期（指亚式期权）以事先规定好的价格（指履约价格）向卖方购买或出售一定数量的特定标的物的权利，但不负有必须买进或卖出的义务（即期权买方拥有选择是否行使买入或卖出的权利，而期权卖方都必须无条件服从买方的选择并履行成交时的允诺）。而亚式期权 (Asian Options) 即是指买入期权的一方只有在期权到期日当天才能行使的期权，到期收益为标的价格运行期间的均价与执行价之差。 表格 1：亚式期权到期收益 到期收益 看涨 看跌 到期收益（若为实值） 푀푎푥(푆௔௩௚−퐾,0) 푀푎푥(퐾−푆௔௩௚,0) 到期收益（若为虚值） 0 0 数据来源：华泰期货研究院 亚式期权的定价模型的推导需要如下的假设条件： 1）假设市场无交易成本。这一假设在现实市场中并不成立，因为现实交易中不仅有交易成本，而且对于期权复制的影响较大； 2）假设市场标的可无限分割。所使用的沪金期货每手合约价值可能会导致存在不满一手而无法调仓的情况，从而导致跟踪误差； 3）假设市场波动率为常数。市场波动率并不是常数，而是随着行情的变化而变化的变量，且选取的计算周期不同亦存在差异。 由于上述假设与现实市场有较大差距，因此，使用理论模型定出的期权理论价格与实际市场运行对冲后的期权价格存在一定的差异。 在标的资产服从对数正态分布与风险中性的假设下，算术平均标的价格下的期权价格并没有闭解。因此多数定价公式都是采用逼近的方法来计算亚式期权的价格。常见的计算算术平均亚式期权价格的方法有Turnbull – Wakeman Approximation，Levy Approximation，Curran Approximation。下文讨论的是Curran Approximation。 首先，统一符号与标记： A=ଵௐ∑푤௜௡௜ୀଵ푆௜，加权算术平均值，其中푤௜为权重，W=∑푤௜௡௜ୀଵ ，当푤௜=1时为算术平均值。 华泰期货|量化策略专题报告 2019-06-03 3 / 11 G=൫∏푆௜௪೔௡௜ୀଵ൯భೈ，几何算术平均值。 S：标的价格 퐶஺：亚式期权价格 K：执行价格 푋௜=ln (푆௜)，标的价格对数化 X=ln (G)，几何平均标的价格对数化 r：无风险利率 b：持有成本，对于期货，b=0。 计算部分 对于算术平均下的亚视看涨期权，其价格可以写成期末Payoff的贴现值： 퐶஺=푒ି௥்퐸[푀푎푥(퐴−퐾,0)]=푒ି௥்퐸{퐸[푀푎푥(퐴−퐾,0)|퐺]} (1) 对于（1）式，可以写成如下形式： 퐶஺=푒ି௥்න퐸[푀푎푥(퐴−퐾,0)|퐺]ஶ଴푔(퐺)푑퐺 =푒ି௥்{න퐸[푀푎푥(퐴−퐾,0)|퐺]௄଴푔(퐺)푑퐺 +න퐸[푀푎푥(퐴−퐾,0)|퐺]ஶ௄푔(퐺)푑퐺} 其中，g是几何平均价格G的密度函数，将括号内的两个积分值设为퐶ଵ、퐶ଶ，，则C_A可以写成如下形式： 퐶஺=푒ି௥்(퐶ଵ+퐶ଶ) 对于푪ퟐ： 在BSM假设下，푋௜=ln (푆௜)服从正态分布，设푋௜的均值为휇௜，标准差为휎௜。则对于X=ln (G)而言。 X=ln(G)=1푊෍푤௜௡௜ୀଵln (푆௜)=1푊෍푤௜௡௜ୀଵ푋௜ 华泰期货|量化策略专题报告 2019-06-03 4 / 11 因此X=ln (G)同样服从正态分布，其均值和方差分别为： 휇 =1푊෍푤௜௡௜ୀଵ푢௜ 휎ଶ=1푊ଶ෍෍푤௜௡௝ୀଵ푤௝௡௜ୀଵ휎௜휎௝휌௜௝ 휎௑௜=휎௜푊෍푤௝௡௝ୀଵ휎௝휌௜௝ 其中휌௜௝是푋௜与푋௝的相关系数，휎௑௜是푋௜与X的协方差。对于퐶ଶ，由于푆௜≥0，所以퐴≥퐺恒成立。因此，퐴≥퐺 >퐾，即퐶ଶ中的max函数可以去掉。根据上述变换，퐶ଶ可以写成如下形式： 퐶ଶ=න퐸[(퐴|푒௫)−퐾]ஶ୪୬(௄)푔(푒௫)푒௫푑푥 =න퐸ቂ(ଵௐ∑푤௜푆௜௡௜ୀଵቚ푒௫)−퐾ቃஶ୪୬(௄)푔(푒௫)푒௫푑푥 =1푊෍푤௜௡௜ୀଵන퐸[(푆௜|푒௫)−퐾]ஶ୪୬(௄)푔(푒௫)푒௫푑푥−න퐾ஶ୪୬(௄)푔(푒௫)푒௫푑푥 积分项中，由于g是G的密度函数，而G服从对数正态分布，因此(푒௫)푒௫=푓(푥)服从正态分布。 将C_2等式最后两个积分设为퐼ଵ、퐼ଶ。 产品模型参数 亚式期权产品要素包括挂钩资产、资产运行期间平均价格、执行价、挂钩资产波动率、无风险利率、产品期限以及产品规模。 这些要素相互联系并且相互制约。挂钩资产、执行价、挂钩资产波动率、无风险利率以及产品期限则决定了亚式期权的理论价格，同时也影响对冲策略的交易成本。另一方面，产品保底收益率、执行价的设定则决定产品的市场吸引力。 华泰期货|量化策略专题报告 2019-06-03 5 / 11 因此，产品要素的设定需要在保证产品的发行规模基础上寻求期权售价与对冲成本的最优化。 由于亚式期权是路径依赖型期权，因此亚式期权定价公式要考虑到执行价的调整。 表格2：亚式期权定价公式 类型 亚式期权定价公式 Call C=ቀ푆଴푒ିொೌ்푁(푑ଵ)−퐾௔ௗ௝푒ି௥்푁(푑ଶ)ቁ∗푇/(푇+푡ଵ) Put P=ቀ−푆଴푒ିொೌ்푁(−푑ଵ)+퐾௔ௗ௝푒ି௥்푁(−푑ଶ)ቁ∗푇/(푇+푡ଵ) 数据来源：华泰期货研究院 说明： 푆଴:标的资产初始价格 K：执行价 r：无风险利率 T：期权剩余时间 푡ଵ：期权已运行时间 푆௔௩௚：期权截至t1时的标的资产均价 퐾ୟୢ୨=(푡ଵ+T)∗K−푡ଵ∗푆௔௩௚(푟−푞)푇 푀ଵ=푒(௥ି௤)்−1(푟−푞)푇 푀ଶ=2푒ൣଶ(௥ି௤)ାఙమ൧்(푟−푞+휎ଶ)(2푟−2푞+휎ଶ)푇ଶ+2(푟−푞)푇ଶቈ12(푟−푞)+휎ଶ−푒(௥ି௤)்(푟−푞+휎ଶ)቉ 푄ୟ=r−log (푀ଵ)푇 휎ୟ=ඥlog (푀ଶ)푇−2(푟−푄ୟ) 푑ଵ=ln൬ௌబ௄౗ౚౠ൰+(푟−푄ୟ+0.5휎ୟଶ)푇휎ୟ√푇、푑ଶ=푑ଵ−휎ୟ√푇 华泰期货|量化策略专题报告 2019-06-03 6 / 11 为检测参数对产品风险的影响，设计如下产品，用来测试说明。假设市场黄金波动率为22%，则模型定价参数如下表: 表格 3：产品参数 参数名 参数设置 期权类型 亚式 看涨/看跌 看涨 方向 买入 期初价格 288.80 执行价格 288.80（ATM） 期限 90天 波动率 19.14% 无风险利率 3% 规模 100手 数据来源：华泰期货研究院 假设定价波动率为16.14%，存在-3%的溢价。采取蒙特卡洛模拟，默认路径2000。 这里将亚式期权区分为每日连续取样和取样点离散的类型。对于取样点离散的类型，其他产品参数依然保持不变，设定取样点时刻为存续期间的1/3，5/9，7/9以及最后时刻，此时改变存续期间T，原产品变为离散取样的亚式期权类型。主要测试WW对冲带，1.5*dv/2对冲和固定阈值对冲三种对冲方法。 以下通过模拟测试三种方法，分别列出不同亚式期权类型下的统计结果，并且进行分析。 亚式期权对冲方法1：WW对冲带 这里简述一下WW方法: 该方法确定一个固定的可以接受的delta敞口，当delta超过这个数值时，交易员就进行对冲。Whalley-Wilmott渐进解计算得出的对冲带以Black-Scholes模型的delta值为中心，对冲带边界表达式： ∆=డ௏డௌ±퐻଴ ，其中퐻଴=(ଷଶ௘షೝ(೅షೝ)ఒௌ௰మఊ)భయ 华泰期货|量化策略专题报告 2019-06-03 7 / 11 λ是按比例计算的交易成本：trading cost=λNS， N是交易证券的总数量；Γ是BSM模型的gamma值，γ是风险厌恶系数。其中γ0风险厌恶系数的取值方法如下： 假定α< 퐻଴<β(这里假定alpha为0.12，beta为0.14), ，则可得出γ0的范围，γ0∈ [γmin,γmax]，在此范围中等间隔地取 N(N > 2) 个值，对应不同的 γ0值做 MC 模拟。根据 MC 模拟指标选择适宜的 γ0，作为对冲的参数值。γ0选择及 WW 策略对冲步骤如下： 1. 设定模拟的参数，包括期权买卖方向；交易成本 λ；期权类型；无风险利率 r；执行价 K；期 权期限 T；波动率 v；期初价格 S(0)；分红率 q 等； 2.根据 AT 策略计算对应的 Delta 容忍范围值 h，取 γmin = h−0.02,γmax = h + 0.02。 3. 在 [γmin,γmax] 范围内等间隔地取 N 个值，对任意的 γ′m(1 6 m 6 N)，令 γ0 = γ′m。根据设定的期权参进行 MC 模拟，并按照 WW 模 型进行对冲。 4. 对比 MC 模拟结果，选取适宜的γ0值作为最终实盘中使用的参数值。 按照如上步骤，输入合约参数，可以得到γ0 = 0.158875，采用该参数进行回测。 1）每日都取样类型 对于每日都取样类型的进行蒙特卡罗模拟回测，默认路径2000. 各项统计指标如下（由于买入，权利金支出为负）： 表格 4：连续取样的亚式期权WW对冲 虚值程度 0% 3% 5% 8% 10% 权利金 -6