亚式期权定价方法

1 / 4 作者：王倩 同济大学中德学院 副教授 FRM 电话：+156 5275 3798 电子邮件：qian.wang@tongji.edu.cn 地址：北京市海淀区曙光街道世纪城远大园3区3号楼2C 亚式期权定价方法 亚式期权定义： 亚式期权又称为平均价格期权，是期权的衍生，是在总结真实期权、虚拟期权和优先认股权等期权实施的经验教训基础上最早由美国银行家信托公司(Bankers Trust)在日本东京推出的。它是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异期权之一，与通常意义上股票期权的差别是对执行价格的限制，其执行价格为执行日的前半年二级市场股票价格的平均价格。 亚式期权定价方法： 平均价格亚式期权模型（AAP模型）计算： P=S푒−푞푇[푁(푣√푇2)−푁(−푣√푇2)] （1） 其中： S：估值日在证券交易所上市交易的同一股票公允价值 T: 剩余限售期，以年为单位表示 σ：股票在剩余限售期内的股价预期年化波动率 q：股票预期年化股利收益率 N: 标准正态分布的累计分布函数 用该公式为看跌期权定价，其基础建立在Black-Scholes期权定价模型之上。原标准Black-Scholes为看跌期权的定价公式为： p=S∙푒−푞푇[푁(푑1)−1]−퐾∙푒−푟푇[푁(푑2)−1] 其中，q为股利收益率，T为剩余限售期。 由于这里的情况是为按平均价格的亚式期权定价，综合公式(1)： P=S푒−푞푇[푁(푣√푇2)−푁(−푣√푇2)] 上述给出的公式假设条件为： 2 / 4 作者：王倩 同济大学中德学院 副教授 FRM 电话：+156 5275 3798 电子邮件：qian.wang@tongji.edu.cn 地址：北京市海淀区曙光街道世纪城远大园3区3号楼2C （i） 限售期股票的定价利率取r=0，只有股票股利收益率发挥q作用； （ii） 假设S=K，即S为股票的公允价值，K为行权价，按照亚式期权的定义为股票的均值，正如文中所指明，取了同一股票的公允价值； 从公式（1）出发： P=S푒−푞푇[푁(푣√푇2)−푁(−푣√푇2)] N(−푣√푇2)=1−푁(푣√푇2) 推导出：⇒ P=S푒−푞푇[2푁(푣√푇2)−1] 综合中给出的条件， p=S∙푒−푞푇[푁(푑1)−1]−퐾∙푒−푟푇[푁(푑2)−1] r=0 S=K 푑1=ln⁡(푆퐾)휎√푇+(푟−푞+휎22)푇휎√푇 푑1=푑2−휎√푇 我们得出： 푑1=(r−푞)∙√푇휎+휎√푇2 푑2=(r−푞)∙√푇휎+휎√푇2−휎√푇 3 / 4 作者：王倩 同济大学中德学院 副教授 FRM 电话：+156 5275 3798 电子邮件：qian.wang@tongji.edu.cn 地址：北京市海淀区曙光街道世纪城远大园3区3号楼2C 푑2=(r−푞)∙√푇휎−휎√푇2 在此情况下，r被原假设为0，所以我们得出： 푑1=−푞∙√푇휎+휎√푇2 푑2=−푞∙√푇휎−휎√푇2 我们将原有的亚式看跌期权变形，得出： p=S[푁(푑1)−1]−퐾∙푒−푟푇[푁(푑2)−1] ⇒ p=S[푁(푑1)−1]−푆[푁(푑2)−1] ⇒ p=S∙N(푑1)−S−S∙N(푑2)+푆 ⇒ p=S∙[N(푑1)−N(푑2)] 由于公式(1)中考虑了股利收益率，我们这里将公式稍微整理，得出： p=S∙[N(푑1)−N(푑2)] 将푑1与푑2代入公式，得出： p=S푒−푞푇[N(1휎√푇+휎√푇2)−N(1휎√푇−휎√푇2)] 上述给出的公式为： P=S푒−푞푇[푁(푣√푇2)−푁(−푣√푇2)] 最后，我们得出： ⇒ 4 / 4 作者：王倩 同济大学中德学院 副教授 FRM 电话：+156 5275 3798 电子邮件：qian.wang@tongji.edu.cn 地址：北京市海淀区曙光街道世纪城远大园3区3号楼2C 푣√푇2=−푞∙√푇휎+휎√푇2 −푣√푇2=−푞∙√푇휎−휎√푇2 推理得出正确的亚式看跌期权的定价公式为： P=S∙[푁(휎√푇2)−푁(−휎√푇2)] P=S∙[2∙푁(휎√푇2)−1]