结构化产品专题报告：美式亚式期权定价研究——基于多叉树模型

华泰期货研究所 量化组 罗剑 量化研究员  0755-23614607  luojian@htfc.com 从业资格号：F3029622 投资咨询号：Z0012563 联系人： 张纪珩 量化研究员  0755-23993171  zhangjihang@htfc.com 从业资格号：F3047630 华泰期货|结构化产品专题报告 2019-02-18 美式亚式期权定价研究 ——基于多叉树模型 摘要： 美式亚式期权是指期权买方可以提前行使权力的亚式期权合约。与一般的香草期权相比，亚式期权的支付依赖于指定时间段内的标的平均价格。鉴于此，亚式期权能有效避免在某一时刻标的价格被操纵的风险。一般来说，需要持续购买原料或持续出售产品的行业，因为所需要套保的购料成本与库存销售价格是长期的，在现货端通常都是使用平均价格计算，因此场外市场部接触到类似的产业，都会为其设计亚式期权。此外，由于亚式期权取平均值，从而降低了波动性，所以期权费比其他条件相同的香草期权更便宜。基于上述原因，在奇异期权中，亚式期权更受投资者的青睐，特别式受到产业客户的欢迎。 基于亚式期权的特点，同时有具有提前执行权特性的美亚式期权的定价多采用二叉树方法计算期权的价值，该方法需要指数次运算，巨大的计算量带来极大的不便。本文采用多叉树方法，对于离散抽样的，平均价格计算方式为取算术平均值且具备提前行权条件的亚式期权进行定价方法研究，以及提出对冲方案。 华泰期货|结构化产品专题报告 2019-02-18 2 / 8 美式亚式期权简介 美式亚式期权是指期权买方可以提前行使权力的亚式期权合约。与一般的香草期权相比，亚式期权的支付依赖于指定时间段内的标的平均价格。鉴于此，亚式期权能有效避免在某一时刻标的价格被操纵的风险。一般来说，需要持续购买原料或持续出售产品的行业，因为所需要套保的购料成本与库存销售价格是长期的，在现货端通常都是使用平均价格计算，因此场外市场部接触到类似的产业，都会为其设计亚式期权。此外，由于亚式期权取平均值，从而降低了波动性，所以期权费比其他条件相同的香草期权更便宜。基于上述原因，在奇异期权中，亚式期权更受投资者的青睐，特别式受到产业客户的欢迎。。根据不同的标准，亚式期权有如下分类。根据取均值的方式不同，可以分为几何平均亚式期权与算术平均亚式期权；根据取样频率不同，可以分为离散取样亚式期权与连续取样亚式期权。在实务中，无法做到真正意义上的连续取样，因此，实务交易中的亚式期权均为离散取样亚式期权；根据取样点是否包括标的初始价格，可以分为标准亚式期权与延迟(delayed Asian)或远期开始 (forward-starting) 亚式期权；根据行权价是否固定可以分为固定执行价 (fixed-strike) 与浮动执行价 (floating-strike) 亚式期权。本文研究的期权为离散抽样，平均方式为取算术平均值且具备提前行权条件的亚式期权。 对于算数平均亚式期权，研究者先后提出了很多方法，包括分析逼近方法，蒙特卡洛方法和PDE方法等。在满足某些假设的情况下，研究者得到了连续亚式期权的近似闭合公式，但是缺乏收敛性保证。相对来说，树方法及PDE 数值解方法因为可以解决提前执行的期权，所以能更好地处理美式期权定价问题，因而得到广泛应用。用二叉树方法计算期权的价值，需要指数次运算，巨大的计算量带来极大的不便。考虑到实务上便利性，本文使用改进的二叉树方法对美式亚式期权定价，即多叉树模型下的线性插值法对离散抽样的美式亚式期权进行定价。这种方法主要是按照一定的规则选取部分到达每个节点的路径个数，并通过这些路径计算期权的价格，并在此基础上得到相应的风险参数。最后，通过确定美式亚式期权的风险特征与欧式亚式期权大至相同，本文认为可以采取与欧式亚式期权类似的方法进行对冲。但是，若标的资产价格出现对卖方来说较大的不利变动，会使期权持有者在下一个观察点到来之前行权变得非常有价值，对冲时应对这种情况进行特别处理。 华泰期货|结构化产品专题报告 2019-02-18 3 / 8 定价方法 假设期权期限为 T；波动率为 σ；执行价为 X；离散亚式期权取样点的个数为 n；二叉树 模型中的步数为 N，因此每步时间间隔 ∆t = T/N；首次取样时间为 ts 对应的步数为 Ns(若ts/∆t 不是整数，则取最近的时间点)，设每个观察点之间的间隔步数为 I，则取样点的步数为 Nୱ+iI,0≤i≤n−1。以 S(i,j) 表示节点 (Nୱ+iI, j) 的标的价格，可以得到： S(i,j)=푆଴푢௜ூି௝푑௝,0≤j≤n−1,0≤j≤iI (1) 푆௞ , 0≤k≤N表示k∆t时的标的价格。基于这些符号约定，对于美式亚式期权，即固定执行价延迟亚式看涨期权到期支付为 ( ଵ௡ାଵ෍푆ேೞା௜ூ−푋௡ିଵ௜ୀ଴ )+ 对于美式亚式期权，对终值条件进行适当修改，用 V0 表示期权最终价格，无风险利率为 r，V푁௦,j 表示节点 (푁௦,j) 的期权价格，根据无风险定价理论，其值为 푉଴=푒ି௥ேೞ∆௧∑푝௟푉଴,௝ேೞ௝ୀ଴ (2) 其中 푝௝=퐶ேೞ௝푝௝(1−푝)ேೞି௝ , j=0,1,2,..., 푁௦ 由上式，只需求出第一步中所有节点(푁௦,j), 0≤j≤푁௦的期权价格，即可确定期权最终的价格。参照图1所示，经典的二叉树模型通过选定 u=e஢౴୲,푑 =eି஢౴୲ 这样在 N →∞ 时，二叉树模型与经典的 BSM 模型一致。但是，在香草期权中，每个节点的期权 价格仅与当时的标的价格有关，而在亚式期权中，期权价格还与特定的路径有关，第 i 步，有 2i 条路径，指数级的路径增长使得二叉树模型在计算效能上无法考虑所有路径，因此，使用经典的二叉树模型无法轻易获利每个节点的期权价格。这是使用二叉树模型处理亚式期权定价问题面临的第一个问题。根据多叉树模型衍生的解决方案是在第 i 步，不考虑所有的 2i 条路径可能的平均值，而是考虑选取一些具有“代表性”的均值，通过这些具有代表性的均值来近似计算期权的价格。通过考虑一些具有代表性的均值，用来替代所有可能的均值。 华泰期货|结构化产品专题报告 2019-02-18 4 / 8 图 1： 二叉树模型 图 2： 多叉树模型 数据来源：华泰期货研究院 数据来源：华泰期货研究院 如上图2与图1 的对比，可以看出多叉树方法对每一步考虑代表性的均值，也就是需要对每一个观察节点找出具有“代表性”的均值。寻找的方法是在每个观察点，找出均值最小与均值最大的路径。确定均值的最小值与最大值后，在这个范围内选取个数不同的“代表性”均值。 在每个观察节点 (Nୱ+iI,j),0≤i≤n−1,0≤j≤iI，确定均值的最小值Amin(i,j) 和最大值 Amax(i,j)，选定 h，确定“代表性”的平均值 퐴௞(푖,푗)=퐴௠௜௡(푖,푗)푒௛௞,푘 =0,1,...,푘௠௔௫(푖,푗) (3) 其中，푘௠௔௫(푖,푗)是满足式 퐴௞೘ೌೣ(푖,푗) ≥퐴௠௔௫(푖,푗) 的最小整数。 下文中 퐴௞(푖,푗)在不引起混淆的情况下，简写为퐴௞。用 V (i,j, 퐴௞) 表示在节点 (Nୱ+iI,j)， 对应的均值为 퐴௞时期权的价格。使用二叉树模型处理离散亚式期权定价面临的第二个问题是，非观察点节点不影响该条路径上的平均值，因此在倒推时，直接忽略这些点。 在忽略非观察点的情况下，节点 (Nୱ+iI,j)倒推需要用到的节点不再是普通二叉树模型的节 点(Nୱ+iI+1,j) 与(Nୱ+iI+1,j+1)，而是下一步 (Nୱ+(i+1)I) 中的 I + 1 个节点 (Nୱ+(i+1)I,j+l),0≤푙 ≤퐼 华泰期货|结构化产品专题报告 2019-02-18 5 / 8 因此有倒推公式 푉൫i,j,A୩(푖,푗)൯=푒ି௥ூ∆௧෍푝௟푉ூ௟ୀ଴(푖+1,푗+1,퐴௞+푆(푖,푗)푢ூି௟푑௟), 0≤푖 ≤푛−1,0≤푗≤푖퐼,0≤푙 ≤퐼 根据下一步可能的均值퐴௞+푆(푖,푗)푢ூି௟푑௟落在节点(Nୱ+(i+1)I,j+l)的所有“代表性”均值 Ak(i + 1,j)中的范围确定插值点。存在整数푠௟ ,使得 퐴௦೗(푖+1,푗)<퐴௞(푖,푗)+S(i,j)푢ூି௟푑௟<퐴௦೗ାଵ(푖+1,푗) 可以通过线性插值方法得到 푉(i,j,A୩(푖,푗))=훼௟푉ቀ푖+1,푗,퐴௦೗(푖+1,푗)ቁ+(1−α)V(i+1,j,퐴௦೗ାଵ(i+1,j)) (4) 对于美式期权，在上述算法步骤求得各状态下的期权价值时，需要将即时行权的收益与之作比较，即对于0≤푖 ≤푛−1,0≤푗≤푖퐼,0≤푘≤푘௠௔௫(푖,푗) 푉(i,j,A୩(푖,푗))=max {푉൫i,j,A୩(푖,푗)൯,提前行权收益} (5) 通过上述算法可得푉ேೞ,௝, 0≤푗≤푁௦。若푁௦= 0，则通过上述算法得出的期权价格即为期权的最终价格，若 푁௦> 0，通过式 (2) 计算最终期权的价格。 华泰期货|结构化产品专题报告 2019-02-18 6 / 8 数值结果 采用如上描述的定价方法，对于参数为利率 r = 0.03,存续期T = 1年,首个取样点时刻ts = 0.5年,期初标的价格S0 = 100,波动率σ = 0.2,取样点个数n = 100的欧式看涨行权的亚式看涨期权和美式行权的亚式期权，期权价格对比如下： 表3：计算结果对比 单位：元 퐗 美式亚式行权 欧式