“学海拾珠”系列之二百一十七：回撤Beta与投资组合优化

回撤Beta与投资组合优化 ——“学海拾珠”系列之二百一十七 金融工程 专题报告 报告日期：2024-12-18 主要观点： 分析师：吴正宇 执业证书号：S0010522090001邮箱：wuzy@hazq.com 分析师：严佳炜 执业证书号：S0010520070001邮箱：yanjw@hazq.com 相关报告 本文介绍了一种新的动态投资组合风险度量方法——预期回撤遗憾 （ERoD），它关注超过指定阈值的回撤情况，并与条件回撤风险 （CDaR）在投资组合优化问题上等价。ERoD贝塔系数作为该方法的核心指标，关联了证券收益和市场收益，并仅考虑市场回撤状态的时间段。与标准贝塔系数和下行贝塔系数相比，ERoD贝塔系数对市场回撤的敏感度更高，为度量组合风险提供了不同的视角。回到国内市场，如 何控制策略回撤一直是投资者关心的话题，本文提出的ERoD指标值得参考借鉴。 ERoD指标的介绍与特点 本文介绍了一种新的动态投资组合绩效风险度量方法——预期回撤遗憾（ERoD）。ERoD定义为超过指定阈值（如20%）的回撤的平均值，与条件回撤风险（CDaR）相似，但ERoD关注的是超过特定阈值的回撤情况。值得注意的是，CDaR和ERoD在投资组合优化问题上是等价的，能够产生相似的最优投资组合集。ERoD投资组合优化的必要最优条件可以推导出资本资产定价模型（CAPM）方程，进一步证明了其理论价值。 1《. 国际股票市场中的因子动量与价格动 与标准贝塔系数类似，ERoD贝塔系数关联了证券收益和市场收益，但不 量——“学海拾珠”系列之二百一十六》 2.《基金中的策略背离、竞争与资金流动 ——“学海拾珠”系列之二百一十�》 同之处在于，ERoD贝塔系数仅考虑市场处于回撤状态的时间段，且当市场回撤超过阈值时，负的ERoD贝塔系数表示该证券具有正收益。 3《. 如何通过技术指标预测市场波动型— ERoD贝塔系数的优势与应用 —“学海拾珠”系列之二百一十四》 与基于下半偏差的下行贝塔系数相比，ERoD贝塔系数提供了截然不 4《. 技术性资产配置与宏观经济因素—— 同的结果，且在概念上与基于最坏情况市场回撤百分比的CDaR贝塔系 “学海拾珠”系列之二百一十三》 数相近。然而，ERoD贝塔系数具有一些优势，因为回撤的幅度是已知的 5《. 主动投资向被动投资转变的影响与风 （如超过20%的阈值），而CDaR贝塔系数则是基于未知幅度的最大回 险？——“学海拾珠”系列之二百一十二》 6.《价格波动性与信息含量——“学海拾珠”系列之二百一十一》 撤的百分比。案例研究表明，CDaR和ERoD贝塔系数随时间表现出持续性，这使其在风险管理和投资组合构建中具有潜在的应用价值。通过ERoD贝塔系数，投资者可以更好地理解证券在市场回撤时的表现，从而做出更明智的投资决策。 7《. 基于转移熵约束的投资组合优化—— “学海拾珠”系列之二百一十》 核心内容摘选自Ding,R.,Uryasev,S.于2022年在QuantitativeFinance上发表的论文《Drawdownbetaandportfoliooptimization》。 风险提示 文献结论基于历史数据与海外文献进行总结；不构成任何投资建议。 正文目录 1引言4 2条件回撤风险6 3预期遗憾与条件风险值之间的关系7 4CDAR与EROD投资组合优化8 5CAPM：CDAR和EROD投资组合优化的必要最优条件10 6关于CDAR和EROD贝塔系数的讨论11 7结论16 风险提示：17 图表目录 图表1文章框架4 图表2NFLXVS标普500累计收益和回撤12 图表3STT和标普500累计收益和最大回撤12 图表4AMZN和标普500累计收益和最大回撤13 图表5EROD,CDAR和标准BETA间的相关系数和秩相关系数（时段1和2）14 图表6道琼斯30的BETA（时段1和2）15 图表7道琼斯30的BETA（时段3和4）16 图表8EROD,CDAR和标准BETA间的相关系数和秩相关系数（时段3和4）16 1引言 图表1文章框架 资料来源：华安证券研究所整理 资本资产定价模型（CAPM）（Sharpe，1964，1992）是投资组合理论与风险管理中的一个基础模型。该模型植根于马科维茨（Markowitz）的均值-方差投资组合优化问题（Markowitz，1991）。关于CAPM的文献浩如烟海，例如批判性综述论文（Galagedera，2007；Rossi，2016）。 标准贝塔系数（Beta）关联着某一证券的预期回报与市场的预期超额收益。在投资组合管理中，贝塔系数已被用作衡量资产表现的关键指标。标准CAPM中使用 的方差风险度量存在一个概念上的缺陷：它未能区分投资组合的损失与收益。马科 维茨（1959）曾考虑仅基于负收益的半方差，相应的贝塔系数被称为下行贝塔。尽管这一理念在概念上颇具吸引力，但下行贝塔与标准贝塔的值却十分接近。因此，下行贝塔除标准贝塔外所提供的信息有限。 为替代方差，已提出了多种非对称风险度量方法。特别是，Rockafellar和Uryasev（2000）针对连续分布提出的条件风险价值（CVaR），它表示超过风险价值（VaR）的条件预期损失，并在Rockafellar和Uryasev（2002）中推广至离散分布。 Rockafellar等人（2006）将CAPM扩展至非对称风险度量领域，如广义离差。该论文证明，CAPM方程是投资组合优化问题的必要最优性条件。特别是，论文为条件风险价值（CVaR）和下半离差（半方差的平方根）计算了贝塔系数。Krokhmal等人（2011）的综述论文讨论了这些以及其他非对称风险度量，并提供了贝塔系数的计算公式。 方差、条件风险价值（CVaR）、半离差以及许多其他风险度量的一个显著缺点是，它们都是静态特征，未考虑投资组合的持续连续损失（可能导致巨额累计损失）。作为静态度量的替代，动态回撤风险度量在投资组合管理中得到了广泛应用。投资 组合管理者试图构建低回撤的投资组合。最受欢迎的回撤特征是最大回撤。然而，从实际操作的角度来看，最大回撤并不是最佳的风险度量：它仅考虑了价格样本路径上的一个特定事件。例如，Goldberg和Mahmoud（2017）提出了所谓的条件预期 回撤（CED），它是最大回撤分布的尾部均值。考虑最近15年的市场历史样本路径。 在最近15年中，标准普尔500指数（SP500）经历了两次重大回撤：（1）2008年金融危机；（2）COVID-19危机。CED会涉及到2008年金融危机（此时已不太相关），而完全忽略近年来最重要的风险事件——COVID-19危机。 Chekhlov等人（2003）提出了条件回撤风险（CDaR），它在投资期限内对投 资组合的最大回撤中指定的百分比进行平均。CDaR定义为投资组合累计回报回撤观测的条件风险价值（CVaR）。Chekhlov等人（2005）指出，CDaR具有离差度量的理论性质。 CDaR已被用于识别金融市场的系统性依赖关系。Ding和Uryasev（2020）考虑了CDaR回归，用于衡量金融机构的系统性风险贡献，以及用于基金风格分类。ZabarankinMichael等人（2014）基于条件回撤风险（CDaR）发展了资本资产 定价模型（CAPM）关系。他们为CDaR投资组合优化推导出了必要的最优性条件。这些条件得出了一个CDaRBeta，它关联了市场（最优投资组合）的累计回报和单个证券的累计回报。CDaRBeta的计算公式为： ∑� ∑� 𝑝𝑠�𝑞∗(𝑤�−𝑤�) 𝛽� =𝑠=1 𝑡=1 𝑠� 𝑠,τ(𝑠,𝑡) 𝑠� 𝐶𝐷𝑎� 其中，i是股票的索引； s是证券收益样本路径的索引； 𝑝�是样本路径s的概率； t是时间； 𝐶𝐷𝑎𝑅𝛼(𝑤𝑤𝑀) 𝑠� 𝑤�是在样本路径s上，时间t时刻资产i的未复利累积收益率； 𝑤�是市场的未复利累积收益率； τ(𝑠,𝑡)是在情景s下，时间t之前市场累计回报最近的最大值的时刻 𝑠� 𝑞∗，当市场投资组合的跌幅达到其最大的（1-α）T回撤时，该指标等于1/（1-α）T，否则该指标为零。 𝐶𝐷𝑎𝑅𝛼(𝑤𝑤𝑀)是市场投资组合最大（1-α）%回撤的平均值。 本文介绍了一种创新的基于回撤的风险度量方法，即回撤期望遗憾（ERoD）。根据定义，ERoD是指超过特定阈值E的回撤值的平均值。而期望遗憾（亦称低偏矩）则定义为超过某一固定阈值的损失的平均水平。因此，ERoD实质上是在所考察期间内，回撤观测值所表现出的期望遗憾。Testuri和Uryasev（2004）的研究揭示了期望遗憾与条件风险价值（CVaR）风险度量之间的等价关系。这一等价性同样 可以从分位数四边形中得到体现，正如Rockafellar和Uryasev（2013）所述；在分位数四边形框架中，CVaR代表着风险，而偏矩则象征着遗憾。基于这一等价性结果，作者证明了条件回撤风险（CDaR）优化与回撤期望遗憾（ERoD）优化之间的等价性。与CDaR优化相似，ERoD优化问题同样可以简化为凸规划和线性规划问题。此外，作者还制定了ERoD优化的极值必要条件，这些条件与CDaR优化的必 要条件具有相似性。因此，可以类比于CDaRBeta推导出ERoDBeta的公式。值得注意的是，在CDaR中的某一置信水平α与ERoD中的某一阈值E下，CDaRBeta与ERoDBeta是相吻合的。这一发现为我们在风险管理实践中提供了新的工具和方法。回撤期望遗憾（ERoD）Beta等于： 1∑� ∑� �𝑞∗(𝑤�−𝑤�) 𝛽� =� 𝑠=1 𝑡=1�𝑠� 𝑠,τ(𝑠,𝑡) 𝑠� 𝐸𝑅𝑜� 𝐸̃(𝑤𝑀) ERoDBeta展现了出色的市场回撤对冲效果。在投资组合构建中，拥有低值乃至负值的ERoDBeta的金融工具极具价值。相较于CDaRBeta，ERoDBeta在概念层面更胜一筹。ERoDBeta的计算基于已知阈值的回撤，从而允许我们精确掌控所评估回撤的幅度。相反，CDaRBeta则是依据某些未知幅度的最大回撤百分比来计算。 本文对股票数据（至少具有15年历史）和标普500指数进行了以下计算。计算 考虑标普500指数正向回撤的𝐸𝑅𝑜𝐷0+Beta，同时也计算了考虑标普500指数最大 10%回撤的CDaR0.9Beta。作者还比较了ERoDBeta和CDaRBeta的不同阈值。为了评估2008年金融危机对所考虑Beta系数的影响及其稳定性，作者比较了 不同历史时期ERoD、CDaR和标准Beta的表现。第6章报告了道琼斯30指数 （Dow30）、标普100指数（SP100）和标普500指数（SP500）中所考虑Beta系数随时间变化的相关性和秩相关系数。作者观察到，在历史数据中，ERoDBeta和CDaRBeta对回撤的敏感性高于标准Beta。对于市值较大的股票，Beta系数更为稳定。 2条件回撤风险 作者将一系列连续的工具收益向量称之为“样本路径”。样本路径可能仅仅是工具历史收益的列表，或是通过某种模型模拟得出的联合收益数据表。假设[𝑟𝑡]是某个工具的标量收益样本路径。记[𝑤𝑡]为未复利累计收益向量， � 𝑤�=∑𝑟�,1≤�≤𝑇.(1) 𝑣=1 𝑑�=max[𝑤𝑣]−𝑤𝑡,1≤�≤𝑇.(2) 简单来说，对于每一个时间点t，回撤[𝑑𝑡]是前一个峰值与当前累计收益之间的差额。 ZabarankinMichael等人（2014）构建了一个更复杂的带有τ窗口的回撤定义，其中表达式（1）和（2）中的所有指数都从tk=max[t-k,1]开始。在计算回撤时，只考虑最近长度为k的时间窗口。然而，这种修改并不会改变任何公式和结论，因此为了简化，作者使用回撤定义（2）。 对于随机值X，在置信水平α下的条件风险值（CVaR）可以定义如