可转债定价模型系列研究：转债蒙特卡洛定价的改进及应用：测度变换与张量计算

金融工程研究●专题报告 2024年5月31日 转债蒙特卡洛定价的改进及应用：测度变换与张量计算 --可转债定价模型系列研究 核心观点： 分析师 可转债定价依赖于正股股价走势，可采用蒙特卡洛模拟对转债进行定价：可转债同时具有债性和股性的特征，转债的价值依赖于未来完整的股价路径，即内嵌路径依赖型期权。我们对正股价格与转债条款的假设如下：1）正股价格的对数过程服从几何布朗运动；2）正股价格在到期收益率测度下服从鞅过程；3）转债仅可能下修或赎回，不考虑回售条款；4）在转股期内若提前转股更有利，则立刻转股。蒙特卡洛模拟能够根据指定的随机过程，模拟正股在未来一段时间内的完整价格走势、条款触发情况与执行情况，解决路径依赖问题。重要性抽样、最小二乘蒙特卡洛与Tensor数据结构等改进蒙特卡洛模型：原有蒙特卡洛模拟具有模拟效率较低、无法识别期权最优停时点、未考虑赎回/下修最新公告等问题，我们对蒙特卡洛模型进行了以下改进：1）采用重要性抽样法将真实测度变换至到期收益率测度，同时可实现提高模拟效率、降低定价误差的效果；2）采用最小二乘蒙特卡洛模拟估计转债的存续价值，确定投资者的最佳转股时点；3）采用Tensor数据结构，支持GPU计算与自动求导，提高代码运行效率；4）将赎回/下修最新公告处理为是否处于赎回/下修限制期、限制期时长等新参数，加入到原有蒙特卡洛模型中。蒙特卡洛定价模型参数分析：蒙特卡洛模型中大部分参数可从市场或转债募集说明书/公告中获取，但正股收益率、正股波动率、下修概率与赎回概率4个参数无法直接获取，需要进行合理估计。根据测算结果，我们选择最近6月年化收益率的21天滚动均值、最近6月年化波动率作为正股收益率与波动率的取值，赎回/下修概率则依据正股价格/转股价格的比值，在0-0.3之间分段取值；另外，为兼顾定价准确与计算效率，我们在定价时取模拟次数为2500次。同时，我们在时间序列和截面上均对模型定价的准确性进行了验证，定价结果表明平均定价误差在合理范围内，改进后的蒙特卡洛模型定价准确性较高。定价方法在转债组合构建中应用广泛，定价误差可改进“双低”转债策略获取超额收益：截至5月24日，转债市场现存余额7908.88亿元，共计535只转 债；近期转债市场与A股市场同步回暖，转债成交金额和平均换手均呈现上升趋势，为构建转债配置策略提供了市场基础。蒙特卡洛定价方法在转债组合构建中具有广泛应用，以双低策略为例，定价误差反映了市场预期收益与历史收益的分歧，依据定价误差可找到市场给予乐观预期的转债构建配置策略，从2023年6月30日至2024年4月30日，等权加权策略相对基准中证转债指数实现超额年化收益11.93%，波动率倒数加权策略实现超额年化收益7.94%，最大回撤均有所收窄，表明策略可获得稳健的超额收益。 风险提示：报告结论基于历史价格信息和统计规律，但二级市场受各种即时性政策影响易出现统计规律之外的走势，所以报告结论有可能无法正确预测市场发展，报告阅读者需审慎参考报告结论。证券历史收益不代表未来业绩表现，文中 观点仅供参考，不构成投资建议。 马普凡：021-68597610：mapufan_yj@chinastock.com.cn分析师登记编码：S0130522040002研究助理：刘璐：liulu_yj@chinastock.com.cn等权加权定价误差改进“双低”策略表现 1.050.85 基础样本池“双低”策略定价误差改进“双低”策略中证转债 资料来源：Wind，中国银河证券研究院波动率倒数加权定价误差改进“双低”策略表现 1.050.950.85 基础样本池“双低”策略 定价误差改进“双低”策略中证转债 资料来源：Wind，中国银河证券研究院相关研究【银河金工】转债新规下的定价模型更新和绝对收益策略改进【银河金工】转债在“固收+”产品中的重要作用 www.chinastock.com.cn证券研究报告请务必阅读正文最后的中国银河证券股份有限公司免责声明 目录 一、转债蒙特卡洛定价模型梳理与完善3 （一）转债定价基本假设3 （二）蒙特卡洛模拟适用于可转债定价5 （三）转债蒙特卡洛定价模型的改进：重要性抽样6 （四）转债蒙特卡洛定价模型的改进：最小二乘蒙特卡洛模拟8 （五）转债蒙特卡洛定价模型的改进：Tensor数据结构9 （六）转债定价模型参数释义10 （七）正股价格路径模拟与转债定价流程11 二、转债蒙特卡洛定价模型参数分析12 （一）定价模型参数取值方法12 （二）模型定价准确性验证16 （三）定价影响因素敏感性分析17 三、转债市场变化22 （一）转债市场整体环境22 （二）转债行业分布与变化23 四、基于蒙特卡洛定价模型的转债配置策略24 （一）定价误差改进“双低”转债策略24 （二）回测结果25 五、结论与改进27 六、附录28 定价模型代码实例28 七、风险提示32 一、转债蒙特卡洛定价模型梳理与完善 （一）转债定价基本假设 在使用蒙特卡洛模拟法对转债进行定价前，我们首先需要对转债及对应正股的特征进行定义，本报告对于正股价格与转债条款的基本假设如下： （1）正股价格的对数过程服从几何布朗运动（GeometricBrownianmotion，GBM）。 股票价格服从几何布朗运动是随机过程中常用的基本假设，因为一方面经验事实证明股价的连续复利收益率近似服从正态分布，另一方面几何布朗运动是一个马尔科夫过程，即当前股价包含了已知的全部信息，这与弱有效市场假说相符。用数学公式可表示为： 𝑑𝑆� 𝑆� =(�−𝑞)𝑑�+𝜎𝑑𝑊� 其中�为漂移率，在真实测度下�为正股期望收益率，在风险中性测度下�为无风险利率𝑟𝑓；�为正股的连续红利率，�为正股对数收益率的波动率，𝑊�服从标准布朗运动，即𝑑𝑊𝑡~𝑁(0,𝑑𝑡)。考虑到短期内分红对转债价格影响较小，且分红后转股价格会相应调整，为简化模型，暂不考虑分红，即�=0，则正股价格可表示为 𝑑𝑆� 𝑆� =𝜇𝑑�+𝜎𝑑𝑊� 𝑑𝑆�=𝜇𝑆𝑡𝑑�+𝜎𝑆𝑡𝑑𝑊� 根据伊藤引理可知，若�是一个关于股价S和时间t的函数𝑓(𝑆,𝑡)，那么伊藤过程可表示为 𝑑�= 𝜕� 𝜕� 𝑑�+ 𝜕� 𝜕� 𝑑�+ 1𝜕2� 2𝜕𝑆2 (𝑑𝑆)2 其中(𝑑𝑆)2=(𝜇𝑆𝑑�+𝜎S𝑑W)2，忽略所有比𝑑�更高阶的小量，则(𝑑𝑆)2=(𝜎S𝑑𝑊)2=𝜎2𝑆2𝑑𝑡；同时将𝑑�= 𝜇𝑆𝑑�+𝜎𝑆𝑑�带入上式，可得 𝑑�= 𝜕� 𝜕� 𝑑�+ 𝜕� 𝜕� (𝜇𝑆𝑑�+𝜎𝑆𝑑𝑊)+ 1𝜕2� 2𝜕𝑆2 𝜎2𝑆2𝑑�=( 𝜕� 𝜕� 𝜕� +𝜕� 𝜇�+ 1𝜕2� 2𝜕𝑆2 𝜎2𝑆2)𝑑�+ 𝜕� 𝜕� 𝜎S𝑑� 令�=𝑙𝑛𝑆，则𝜕�=0，𝜕�=1，𝜕2�=−1，带入上式可得 𝜕� 𝜕�� 𝑆𝑡+1 𝜕𝑆2 1 𝑆2 1122112 � 𝑑𝑙𝑛�=ln( � )=(0+�𝜇�−2𝑆2��)𝑑�+�𝜎𝑆𝑑�=(�−2�)𝑑�+𝜎𝑑� 因此股票连续复利收益率服从正态分布 (12 2)，股票价格的解析式为 𝑑𝑙𝑛𝑆~� (�− �)𝑑𝑡,�𝑑� 2 𝜎2 𝑆�=𝑆0×exp[(�−2)�+𝜎𝑊𝑡] （2）正股价格在到期收益率测度下服从鞅过程。 资产定价的本质是对未来现金流贴现计算现值的期望。但真实世界中，在对衍生品定价时，由于标的资产价格收益率�与适合的贴现率�均难以进行准确估计，我们引入了测度变换（ChangeofMeasure）的概念。测度变换可理解为一个变换概率分布的过程，是一种用于简化衍生品定价的数学工具，本身并不具有经济学含义。假定真实世界中的概率分布为真实测度，记作P测度；变换后的目标概率测度为Q测度，如 果P测度和Q测度满足二者对不可能事件的概率都为0、对必然事件的概率都为1，对其他事件集合可能赋予不同的概率密度，那么二者可称为等价测度。在衍生品定价中，等价测度意味着资产价格路径是一致的，但发生的概率不同。这样，只要将Q测度下衍生品期望价格变换回P测度中，我们就可以完成对真实世界中衍生品的定价。 鞅过程（Martingale）是随机过程的一种特殊形式。假设�为一个随机过程（即随时间变化的随机变量），𝑋(𝑡)为该随机过程当前值，ℱ�为�时刻所有已知信息，𝑋(𝑠)为该随机过程的未来值（�>𝑡），若�满足 𝐸𝑡[𝑋(𝑠)|ℱ𝑡]=𝑋(𝑡) 则随机过程X被称为一个鞅过程。鞅过程在金融建模中被广泛应用，这来源于有效市场的假设：如果市场有效，未来资产价格的期望等于当前价格，那么任何一种资产平均而言都无法获得超额收益。如果我 们可以找到一个和P测度等价的Q测度，使得资产价格序列在Q测度下是一个鞅过程，这样的Q测度就称为等价鞅测度。在无套利的假设下，等价鞅测度（Q测度）与真实测度（P测度）的定价具有统一性。 � � 至此可见，对可转债的定价关键在于找到一个合适的等价鞅测度Q。实际上，我们可以证明如果正股股价序列记作𝑺𝒕，那么存在一个等价鞅测度Q使得股价的贴现过程𝑺∗=�𝒆−𝒓�是一个鞅，其中�是贴现率。 在前文中，我们已建立了在真实测度（P测度）下正股股价满足几何布朗运动的假设，即 𝑑𝑆�=𝜇𝑆𝑡𝑑�+𝜎𝑆𝑡𝑑𝑊� � 由于存在漂移项𝜇，股票价格存在长期趋势，显然不满足鞅过程的定义。令股价贴现过程𝑆∗=𝑆𝑡𝑒−𝑟𝑡， 𝜕𝑆∗ 𝜕𝑆∗ 𝑆∗ 𝜕2𝑆∗ 则有�=−𝑟𝑒−𝑟𝑡𝑆�=−𝑟𝑆∗，�=𝑒−𝑟�=𝑡，�=0，根据伊藤引理可得 � 𝜕� �𝜕𝑆� 𝑆� 𝜕𝑆2 𝜕𝑆∗ 𝜕𝑆∗ 1𝜕2𝑆∗ 𝜕𝑆∗ 𝑆∗ 𝑆∗ � 𝑑𝑆∗=(�+�𝜇�+�𝜎2𝑆2)𝑑�+�𝜎�𝑑�=(−𝑟𝑆∗+���)𝑑�+���𝑑� �𝜕� 𝜕𝑆� �2𝜕𝑆2� 𝜕𝑆��� �𝑆�� 𝑆��� =(�−𝑟)𝑆∗𝑑�+𝜎𝑆∗𝑑𝑊� �� � 在P测度下�是股票长期收益率，与贴现率�不一定相等，因此股价贴现过程𝑆∗仍然不是一个鞅过程， 因此需要进行测度变换。引入单位波动率的风险溢价�=(�−𝑟)/𝜎，可得 𝑑𝑆∗=�−�𝜎𝑆∗𝑑�+𝜎𝑆∗𝑑�=𝜎𝑆∗(𝜃𝑑�+𝑑�) ��� ���� 令𝑑𝑊∗=𝜃𝑑�+𝑑𝑊𝑡，则有𝑑𝑆∗=𝜎𝑆∗𝑑𝑊∗，此时随机过程𝑆∗中仅含有𝑑𝑊∗项，满足鞅过程的定义。实际 �� �� �� 上，𝑑𝑊∗=𝜃𝑑�+𝑑𝑊�对布朗运动𝑑𝑊�进行平移即是完成了测度变换，根据Gisanov定理在新测度Q下𝑑𝑊∗ �� 仍是一个布朗运动，且Q测度与P测度等价。在Q测度中股价贴现序列不再含有漂移项𝜇， �∗ �𝑆∗ =𝜎𝑑� � ∗� � 因此在Q测度中𝑆∗满足𝑆∗=𝐸𝑡[𝑆∗]，T>t，即在Q测度中𝑆∗=𝑆𝑡𝑒−𝑟�是一个鞅过程。而贴现因子𝑒−𝑟�也可 ���� 视为一种计价单位，定义𝑅�=𝑒𝑟𝑡，�为连续复利收益率。若计价单位为货币市场账户、收益率为无风险利率𝑟𝑓，则变换后的Q测度称为风险中性测度，这是衍生品定价中最常用的测度。 测度变换有效的来源是风险的可对冲性。以欧式股票看涨期权为例，假设我们在卖出一单位看涨期权C的同时买入Delta单位标的股票S，则股价S变动的风险就实现了完全对冲，组合的期望收益仅来源于卖出期权得到的现金流C产生的收益，即对应无风险利率𝑟�。 但对于可转债而言，风险中性测度并不适用。即使可转债转股的风险可以被完全对