海外文献-随机矩阵系列（1）：金融数据相关性的随机矩阵近似

2023年12月31日 核心观点： 分析师 风 险 提 示 ：报告 结 论 基 于 历 史 文 献 ， 所 以 报 告 结 论 有 可 能 无 法 正 确 预 测 市 场发 展 ， 报 告 阅 读 者 需 审 慎 参 考 报 告 结 论 。 文 中 观 点 仅 供 参 考 ， 不 构 成 投 资 建议 ， 报 告 阅 读 者 需 审 慎 参 考 报 告 结 论。 相关研究 目录 一、引言........................................................................................................................................................................................3（一）动机.........................................................................................................................................................................................3（二）背景.........................................................................................................................................................................................3二、分析数据................................................................................................................................................................................4三、相关系数统计........................................................................................................................................................................4四、相关矩阵的特征值分布........................................................................................................................................................5五、普适性：C的大部分特征值是否与RMT一致？...............................................................................................................7六、特征向量统计........................................................................................................................................................................8七、风险提示..............................................................................................................................................................................10 一、引言 （一）动机 研 究 度 量 股 票 之 间 的 相 关 性 是 一 个 重 要 的 话 题 ，一 方 面 因 为 科 研 方 向 关 于 经 济 复 杂 的 动 力 系 统 的 研究 ，另 一 方 面 在 为 资 产 配 置 和 投 资 组 合 风 险 估 计 等 实 际 应 用 中 也 需 要。与 大 多 数 物 理 系 统 不 同 ，在 大 多数 物 理 系 统 中，人 们 将 子 单 元 之 间 的 相 关 性 与 基 本 的 相 互 作 用 联 系 起 来，股 市 问 题 的 潜 在“相 互 作 用”尚不 清 楚 。在 这 里 ，作 者通 过 应 用 随 机 矩 阵 理 论 的 概 念 和 方 法 来 分 析 股 票 之 间 的 相 互 关 系 ，该 理 论 是 在 复杂 量 子 系 统 的 背 景 下 发 展 起 来 的（其内 部相 互 作 用 的 确 切 性 质 尚 不 清 楚）。 为 了 量 化 相 关 性 ，作 者首 先 计 算 股 票 的 价 格 变 化（“ 回 报 ”）并 将 其 归 一 化，并 进 一 步 计 算 相 关 系数矩 阵 。 分 析 其 相 关 系 数Cij的 的 困 难 包 括 以 下 几 个 原 因 ： 1市 场 条 件 随 着 时 间 的 推 移 而 变 化 ， 任 何 一 对 股 票 之 间 存 在 的 交 叉 关 系 都 可 能 不 是 固 定 的。 2用 于 估 计 互 相 关 性 的 时 间 序 列 长 度 是 有 限 ， 而 这 会 产 生 所 谓 “ 测 量 噪 声 ”。 如 果 使 用 长 时 间 序 列 来 规 避 有 限 长 度 的 问 题 ，估 计 将 受 到 互 相 关 的 非 平 稳 性 的 影 响 。由 于 这 些 原 因 ，经 验 测 量 的 互 相 关 将 包 含 “ 随 机 ” 贡 献 。 如 何 从Cij中 识 别 那 些 在 研 究 的 时 间 段 内 主 要 相 关 （ 平 均 ） ？ 为 了 回 答 这 个 问 题 ， 将C的 统 计 数据与 随 机 相 关（ 由 相 互 不 相 关 的 时 间 序 列 构 建 的 相 关 矩 阵 ）的“ 原 假 设 ”进 行 比 较 。如 果C的 性 质 符 合随机 相 关 矩 阵 的 性 质 ，那 么 根 据 经 验 测 量 的C的 内 容 是 随 机 的 。相 反 ，C的 性 质 与 随 机 相 关 矩 阵 的 性 质 的偏 差 传 达 了 关 于“ 根 ”相 关 关 系 的 信 息 。因 此 ，作 者的 目 标 是 将C的 性 质 与 随 机 相 关 矩 阵 的 性 质 进 行 比较 ， 并 将C的 内 容 分 为 两 组 ：（a）C的 符 合 随 机 相 关 矩 阵 性 质 的 部 分 （“ 噪 声 ”） 和 （b）C的 偏 离 部 分（“ 信 息 ”）。 （二）背景 具 有 独 立 随 机 元 素 的 矩 阵（ 随 机 矩 阵 ）的 统 计 性 质 的 研 究 起 源 于 核 物 理 ，有 着 丰 富 的 历 史 。在 核 物理 学 中,50年 前 人 们 感 兴 趣 的 问 题 是 分 析 复 杂 的 核 能 级 ， 而 现 有 的 模 型 无 法 解 释 这 一 点 。 随 机 矩 阵 理 论（RMT）是 由Wigner、Dyson、Mehta和Others在 这 种 背 景 下 发 展 起 来 的 ，目 的 是 解 释 复 杂 量 子 系 统 的能 级 统 计 。 他 们 假 设 ， 描 述 重 核 的 哈 密 顿 量 可 以 用 矩 阵H来 描 述 ， 矩 阵H具 有 从 概 率 分 布 中 提 取 的 独立 随 机 元 素Hij。 基 于 这 一 假 设 ， 做 出 了 一 系 列 显 著 的 预 测 ， 这 些 预 测 与 实 验 数 据 一 致 。 对 于 复 杂 的 量子 系 统 ，RMT预 测 代 表 了 所 有 可 能 相 互 作 用 的 平 均 值 。与RMT普 遍 预 测 的 偏 差 可 以 得 到 所 研 究 系 统 的特 定 非 随 机 性 质 ， 为 潜 在 的 相 互 作 用 提 供 了 线 索 。 最 近 应 用RMT方 法 分 析C性 质 的 研 究 表 明 ， 约98%的C特 征 值 与RMT预 测 一 致 ， 表 明 测 量 的 互相 关 具 有 相 当 大 的 随 机 性 。还 发 现 ，对 于2%的 最 大 特 征 值RMT预 测 存 在 偏 差 。这 些 结 果 引 发 了 以 下 问题 (1)对RMT的 偏 差 有 什 么 可 能 的 解 释 ？ (2)与RMT的 偏 差 是 否 稳 定 （ 随 着 时 间 ） ？ (3)从 这 些 结 果 中 可 以 推 断 出C的 结 构 是 什 么 ？ (4)这 些 结 果 的 实 际 意 义 是 什 么 ？ 在 下 文 中 ，作 者将 详 细 讨 论 这 些 问 题 。作 者发 现 ，C的 最 大 特 征 值 代 表 了 整 个 市 场 的 影 响 ，这 对 所有 股 票 来 说 都 是 共 同 的 。作 者对 偏 离RMT的 剩 余 特 征 值 内 容 的 分 析 表 明 ， 同 类 型 行 业 的 股 票 、 具 有 大市 场 资 本 的 股 票 和 在 特 定 地 理 区 域 有 业 务 的 公 司 的 股 票 之 间 存 在 交 叉 相 关 性 。通 过 计 算 特 征 向 量 从 一 个时 间 段 到 下 一 个 时 间 周 期 的 标 量 乘 积 ，作 者发 现“ 证 明 特 征 向 量 ”具 有 不 同 的 时 间 稳 定 性 ，通 过 标 量 乘积 的 大 小 来 量 化 。最 大 的 两 到 三 个 特 征 向 量 在 很 长 一 段 时 间 内 是 稳 定 的 ，而 在 偏 离 特 征 向 量 时 ，时 间 稳定 性 随 着 相 应 的 特 征 值 接 近RMT上 界 而 降 低 。 为 了 检 验 偏 差 特 征 值 是C中 唯 一 的 “ 经 典 ” 信 息 ，作 者将C的 特 征 值 统 计 量 与 实 对 称 随 机 矩 阵 的已 知 普 遍 性 质 进 行 了 比 较 ， 发 现 与RMT结 果 一 致 。 使 用 逆 参 与 比 的 概念 ，作 者分 析 了C的 特 征 向 量 ，并 在 特 征 值 谱 的 两 个 边 缘 发 现 了 大 的 逆 参 与 比 值— —这 为C提 出 了 一 个“ 随 机 带 ”矩 阵 结 构 。最 后 ，作者讨 论 了 在 寻 找 一 种 在 不 暴 露 于 不 必 要 风 险 的 情 况 下 提 供 给 定 回 报 的 投 资 的 实 际 目 标 中 的 应 用 。 此 外 ，作 者的 方 法 也 有 可 能 在 各 种 应 用 中 用 于 过 滤 经 验 测 量 的 互 相 关 矩 阵 中 的 “ 噪 声 ”。 作 者的 组 织 结 构 如 下 。第 二 节 包 含 分 析 数 据 的 简 要 说 明 。第 三 节 讨 论 了 互 相 关 系 数 的 统 计 。第 四 节讨 论 了C的 特 征 值 分 布 ， 并 与RMT结 果 进 行 了 比 较 。 第 五 节 检 验 了 实 对 称 随 机 矩 阵 普 遍 性 质 的 特 征 值统 计 量C，第 六 节 详 细 分 析 了 偏 离RMT的 特 征 向 量 的 内 容 。第 七 节 讨 论 了 偏 差 特 征 向 量 的 时 间 稳 定 性 。第 八 节 介 绍 了RMT方 法 在 构 建 具 有 稳 定 风 险 回 报