基本面量化专题报告：基于非线性系统稳定性构建择时模型

专题报告-基本面量化 基于非线性系统稳定性构建择时模型 报告日期：2022年12月7日 章顺资深分析师(基本面量化) 从业资格号：F0301166 投资咨询号：Z0011689 Tel:8621-63325888-3902 ★摘要： 在工程学科中，尤其是控制理论中，非线性系统的稳定性一直是重点关注的问题之一。我们在最近一年的专题报告中经常提及复杂系统相关的理论，该理论的研究对象就是非线性系统。金融市场作为典型的复杂系统，非线性系统的稳定性理论能否借鉴呢？李雅普诺夫稳定性理论被广泛应用于系统稳定性分析。我们基于最大李亚普诺夫指数构建多元资产的择时模型，其中这里提到的最大李亚普诺夫指数是MichaelT.Rosenstein等人提出来的新方法。在实证部分，我们的设定和结论如下： 第一，多元资产的测试样本包括股指、国债、商品和外汇； 第二，滚动计算各资产的最大李亚普诺夫指数（144个交易日），通过求和计算被预测资产的稳定性指标，滚动计算稳定性指标的斜率（89个交易日）以及资产行情时间序列的均线组合（12、18、24和30个交易日），综合稳定性指标的斜率变化以及资产行情序列均线构建被预测资产的择时模型，择时点既是上期离场点，也是当期进场点； 第三，测试结果中，沪深300指数的测试胜率明显高于其他资产，中国十年期国债的测试胜率不及50%。需要注意的是，CRB现货商品指数的测试样本超过30年，美元指数的测试样本更是超过45年，在如此长期的测试中，模型测试胜率均能达到60%左右。测试结果表明基于非线性系统稳定性构建的择时模型，在胜率和累计盈亏上看，具备实际操作的可行性。 我们在最近的报告中均借鉴了复杂系统相关的理论，工程学科中的方法论在金融市场也有用武之地，实证测试的结果符合预期。复杂系统理论在金融市场中的应用越来越受到机构投资者的关注，我们将在未来的研究中继续探讨复杂系统理论如何应用于金融市场。 Email:shun.zhang@orientfutures.com 金融期货 重要事项：本报告版权归上海东证期货有限公司所有。未获得东证期货书面授权，任何人不得对本报告进行任何形式的发布、复制。本报告的信息均来源于公开资料，我公司对这些信息的准确性和完整性不作任何保证，也不保证所包含的信息和建议不会发生任何变更。我们已力求报告内容的客观、公正，但文中的观点、结论和建议仅供参考，报告中的信息或意见并不构成交易建议，投资者据此做出的任何投资决策与本公司和作者无关。 有关分析师承诺，见本报告最后部分。并请阅读报告最后一页的免责声明。 目录 1、导语：非线性系统的稳定性4 2、李雅普诺夫稳定性4 2.1、李雅普诺夫指数的算法及问题4 2.2、李雅普诺夫指数的新算法5 3、从系统稳定性的视角测试市场的变盘点8 3.1、实证方案8 3.2、实证数据8 3.3、基于李雅普诺夫指数的多元资产择时模型测试9 3.3.1、股指择时测试10 3.3.2、利率择时测试12 3.3.3、商品指数择时测试14 3.3.4、外汇择时测试16 4、结论及展望18 5、参考文献18 2期货研究报告 图表目录 图表1：计算最大李雅普诺夫指数的流程7 图表2：多元资产样本数据说明9 图表3：沪深300择时模型的构建方案10 图表4：股指择时测试结果（本金一万元，无杠杆指数交易）11 图表5：基于国内股指构建的沪深300测试结果111 图表6：基于国内股指构建的沪深300测试结果211 图表7：基于国内股指构建的沪深300测试结果311 图表8：基于国内股指构建的沪深300测试结果411 图表9：基于海外股指构建的沪深300测试结果112 图表10：基于海外股指构建的沪深300测试结果212 图表11：基于海外股指构建的沪深300测试结果312 图表12：基于海外股指构建的沪深300测试结果412 图表13：中国十年期国债择时模型的构建方案13 图表14：中国十年期国债择时测试结果（根据利差计算损益，无杠杆交易）13 图表15：中国十年期国债择时测试结果113 图表16：中国十年期国债择时测试结果213 图表17：中国十年期国债择时测试结果314 图表18：中国十年期国债择时测试结果414 图表19：CRB现货商品指数择时模型的构建方案14 图表20：CRB现货商品指数择时测试结果（本金一千美元，无杠杆，指数交易）15 图表21：CRB现货商品指数择时测试结果115 图表22：CRB现货商品指数择时测试结果215 图表23：CRB现货商品指数择时测试结果315 图表24：CRB现货商品指数择时测试结果415 图表25：美元指数择时模型的构建方案16 图表26：美元指数择时测试结果（本金两百美元，无杠杆，指数交易）16 图表27：美元指数择时测试结果116 图表28：美元指数择时测试结果216 图表29：美元指数择时测试结果317 图表30：美元指数择时测试结果417 图表31：不同资产测试胜率对比17 1、导语：非线性系统的稳定性 非线性系统在现实世界中是广泛存在的。虽然现有的经济学模型中非线性的描述并不多见，但金融市场的非线性特征已经被数理科学家论证过，如金融危机，这类情形就能反映市场的非线性特征，在《多元资产之间的因果分析》等专题报告中也有相关的描述。 非线性系统一般都存在多个性质有所差异的平衡点，这是区别于线性系统的主要标志之一。一般而言，系统的非线性越强，混沌特性可能越明显。当一个系统具有混沌特性时，其初始值的微小变化将可能导致输出量的剧烈改变。非线性系统的参数发生变化时，可能导致两种结果：一种是产生许多新的平衡点，另一种是其平衡点的稳定性发生变化。 在金融市场是一个非线性系统的前提下，非线性系统稳定性的概念能否应用于金融市场呢？两者所在的学科不同，但非线性特征是共同点。我们把非线性系统的稳定性变化点类比为金融市场的变盘点，变盘点既要考虑趋势拐点，也要考虑市场波动率的变化。接下来，我们将从非线性系统稳定性的视角去构建择时模型，通过择时模型的测试来深入理解金融波动。 2、李雅普诺夫稳定性 1892年，俄国数学家、力学家李雅普诺夫（A.M.Lyapunov）在他的博士论文《运动稳定性的一般问题》中，提出了著名的李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的一般方法，适用于各类动态系统。李雅普诺夫稳定性理论的核心是提出了判别系统稳定性的两种方法，分别被称为李雅普诺夫第一方法和第二方法。李雅普诺夫第一方法是通过求解系统的动态方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，其基本思路和分析方法与古典控制理论是一致的。李雅普诺夫第二方法则是一种定性方法，它无需求解复杂的系统微分方程，而是通过构造一个类似于能量函数的标量李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺夫函数随时间变化的情况来直接判定系统的稳定性。因此，它特别适合于那些难以求解的非线性系统和时变系统。 2.1、李雅普诺夫指数的算法及问题 在过去的十年中，区分确定性混沌和噪声已经成为许多不同领域的重要问题，例如，生理学，经济学。目前，量化混沌的数值算法的可用性明显提升。特别是，现有的方法可以计算关联维数，科尔莫戈罗夫熵和李亚普诺夫特征指数。维数用来估计系统的复杂程度，熵和特征指数用来估计动力系统的混乱程度。在许多应用中，仅仅计算最大的李亚普诺夫指数就足够了。然而，现有的估计方法至少存在以下缺点：小数据集不可靠、计算量大、相对难以实现。 对于动态系统，对初始的敏感性条件由李雅普诺夫指数量化。当吸引子混沌时，平均而言，轨迹以指数速度发散，其特征是最大的李雅普诺夫指数。这个概念也是广义的对于 李雅普诺夫指数的谱，i（i=1，2，...，n），通过考虑初始条件的n维球体，其中 n是用于描述系统的方程数。正指数的存在是足以诊断混沌并表示特定方向上的局部不稳定。对于吸引子的存在问题，整体动力系统必须是耗散性的，即全局稳定，并且总收缩速率必须超过总膨胀速率。因此，即使当有几个正李雅普诺夫指数时，整个总和为负。 沃尔夫等人通过提供以下几何解释来解释李雅普诺夫谱。首先，排列n个主轴椭圆体的顺序（从最快扩展到最快速收缩）。它遵循相关的李雅普诺夫指数的排序如下： 12n 其中1和n分别对应于最快的扩展和收缩主轴。李亚普诺夫谱，由k个最大李亚普诺夫指数之和给出。相应指数的总和，等于柯尔莫哥洛夫熵（K）或均值信息获取率： Ki i0 当描述动力学系统的方程可用时，可以计算整个李亚普诺夫谱。该方法包括对系统的n个方程进行数值求解。测量一组相应矢量的增长，随着系统的发展，使用Gram-Schmidt程序对矢量进行重排序。这保证了只有一个矢量在最快速扩展的方向上具有分量，即矢量保持适当的相空间方向。然而，在实验环境中，运动方程通常是未知的，这种方法不适用。此外，实验数据通常由单个可观测的时间序列组成，必须采用吸引子重构技术，例如延迟法、奇异值分解。 如上所述，计算整个李亚普诺夫谱，必须测量与前面考虑的椭球体主轴相对应的李雅普诺夫方向上的间距。如果我们假设系统存在一个遍历测度，那么Oseledec的定理证明了在计算光滑动力系统的最大李雅普诺夫指数时使用任意相空间方向的合理性。我们可以预期初始条件的随机向量将收敛到最不稳定的流形，因为在这种情况下指数增长方向很快控制了沿其他李雅普诺夫方向的生长（或收缩）。因此，最大李雅普诺夫指数可以使 用以下等式定义，其中d(t)是时间t的平均散度，C是将初始分离归一化的常数： d(t)Ce1t 2.2、李雅普诺夫指数的新算法 MichaelT.Rosenstein等人提出了一种从实验时间序列中计算最大李亚普诺夫指数的新方法。该方法直接遵循最大李亚普诺夫指数的定义，算法快速、易于实现，并且对嵌入维数、数据集大小、重建延迟和噪声水平等数量的变化具有鲁棒性。 这种新的计算方法适用于数据量小、速度快、易于实现的场合。MichaelT.Rosenstein等人方法的第一步涉及从单个时间序列重建吸引子，使用延迟方法，重构的轨迹X可以表示为矩阵，其中每行是相空间矢量。也就是说： 12M X(X,X,,X)T 其中，X是系统在离散时间i的状态。对于N点的时间序列，[X1,X2,,XN]，每个Xi 由下式给出： Xi(Xi,XiJ,,Xi(m1)J) 其中J是滞后或重构延迟，m是嵌入维数。因此，X是M*m矩阵，常数m、M、J和N被估计为M=N-(m-1)J。J的一个很好的近似值等于自相关函数下降到其初始值的1-1/e时的滞后项。计算这个J可以使用快速傅里叶变换（FFT）完成。 在重建动力系统后，该算法定位轨迹上每个点的最近邻居。最近的邻居xˆj，是通过搜索，寻找到特定参考点xj的距离最小化的点来，表示为： dj(0)min||xjxˆj|| xˆj 其中dj(0)是从第j个点到其最近邻的初始距离，并且时间间隔大于时间序列的平均周期。 表示欧几里得范数，最近邻的 将每对邻居视为不同轨迹的邻近初始条件，然后将最大的李雅普诺夫指数估计为最近邻居的平均分离率。到目前为止，计算λ的方法与以前跟踪最近邻域指数散度的方法类似。但是，重要的是要注意一些差异： （1）Wolf等人的算法未能利用所有可用数据，因为它专注于一个“基准”轨迹。当单个最近邻与参考轨迹的分离超过特定极限时，将跟踪并重复替换该相邻点。还需要额外的计算，因为该方法通过将邻域替换为保持其相空间方向的邻域来近似Gram-Schmidt过程。然而，在仅计算最大的李雅普诺夫指数时，没有必要保持相空间方向。 （2）如果最近的邻居（暂时）在其参考点之前，那么算法可以被视为“预测”方法。在这种情况下，预测模型是一个简单的延迟线，预测是最近邻的位置，预测误差等于最近邻与其参考点之间的距离。然而，其他预测方法使用更复杂的方案，例如多项式映射，自适应滤波器，神经网络，需要更多的计算。威尔士方法的计算量也更大，尽管它与目前的方法相当。威尔士算法对于从差分方程导出的离散系统给出了出色的结果，但对于从