量化策略专题报告Zakamouline对冲方法研究之一：求解步骤与效果对比

华泰期货研究所 量化组 罗剑 量化研究员  0755-23614607  luojian@htfc.com 从业资格号：F3029622 投资咨询号：Z0012563 华泰期货研究院 量化组 张纪珩 量化研究员  0755-23993171  zhangjihang@htfc.com 从业资格号：F3047630 华泰期货|量化策略专题报告 2019-05-29 Zakamouline对冲方法研究之一： 求解步骤与效果对比 摘要： Zakamouline基于效用的方法，研究了对冲策略的特性，并提出了一个对冲策略共识，它能够保持Hodges and Neuberger模型最重要的特性，数值模拟的结果表明，Zakamouline的近似方法显著优于其他方法。也就是说，对于给定的风险水平而言，这个策略实施的成本最小。在理想的情况下，我们希望一个策略可以在各种风险水平上都能显著优于其他策略。 本文根据Zakamouline的对冲思想，估算出收益η = η(hw,h0,hσ)与风险휌 = 휌 (hw,h0,hσ)。通过找到对应不同的风险水平下，最优的 (hw,h0,hσ)值，使得在相同的收益情况下，风险最小。在风险相同的情况下，收益最大。同时模拟卖出一个欧式看涨期权，并用相应的基准对冲策略和Zakamouline方法进行模拟测试，以及结果对比分析。 华泰期货|量化策略专题报告 2019-05-29 2 / 12 商品期权对冲 商品期权对冲是一种在减低商业风险的同时仍然能在投资中获利的手法。一般情况下对冲是投资者同时进行两笔行情相关、方向相反、数量相当、盈亏相抵的交易。行情相关是指影响两种商品价格行情的市场供求关系存在同一性，供求关系若发生变化，同时会影响两种商品的价格，且价格变化的方向大体一致。方向相反指两笔交易的买卖方向相反，这样无论价格向什么方向变化，总是一盈一亏。当然要做到盈亏相抵，投资者通过两笔交易的数量大小和各自价格变动的幅度来确定，大体做到数量相当。 对冲有两个作用，一个是用来抵消风险，另一个就是利用差异来获得收益。 不论是场外期权做市商售出期权后对冲Delta风险，还是未来场内期权交易可能出现的各类交易策略（如波动率交易），都需要投资者开发出稳健的动态Delta对冲策略。由于欧式期权不论看涨还是看跌，Gamma都大于0，即卖出期权的做市商或者投资者在Delta对冲时都要承担Gamma风险带来的损失，如何尽量减少损失一直是业界关注的问题。 经典的Black-Scholes模型假设投资者可以连续对冲风险，合约可以分割为任意小，同时交易成本等于0，而现实中投资者即不可能连续交易，也无法将价值几十万的股指期货合约分割成若干份，更无法将交易成本设为0，因此学术界也会关注如果Black-Scholes模型假设宽松之后，怎样设计出有效的Delta对冲策略。特别是交易成本不等于0时，毕竟相比于其他条件， 交易成本是最容易放宽的条件，同时交易成本在金融理论上也占有重要位置。至于Delta对冲的频率，由于每一次对冲交易都会有误差，而Gamma大小与Delta对冲频率共同决定了离散Delta对冲误差分布的大小，因此通过调整Delta对冲频率，交易员能够有效控制风险，将对自己不利的风险敞口尽量减小。 对冲中的Delta中性 Delta为零的状态我们称之为 Delta 中性。而期权对冲中Delta不仅仅有大小，还有方向。因此可以将 Delta 风险理解为“方向性”的风险。也就是说，我们无法准确预知标的物究竟上涨还是下跌以及上涨下跌的幅度，故而我们有必要对这一风险进行对冲。 如果期权卖方想在标的物价格波动剧烈的时候不吃亏，则需要不断通过买卖现货来调整对冲仓位，尽量保持总仓位的 Delta 为0。而投资者不断根据头寸 Delta 而做对冲的手法就是动态 Delta 对冲。 Zakamouline对冲 Zakamouline研究了基于效用的对冲策略的特性，并提出了一个对冲策略共识，它能够保持Hodges and Neuberger模型最重要的特性，数值模拟的结果表明，Zakamouline的近似方法 华泰期货|量化策略专题报告 2019-05-29 3 / 12 显著优于其他方法。也就是说，对于给定的风险水平而言，这个策略实施的成本最小。在理想的情况下，我们当然希望一个策略可以在各种风险水平上都能显著优于其他策略。 使用基于效用的方法，得出Delta对冲具有如下函数形式： ∆=휕푉(훿௠)휕푆±൭ℎ௪|훤|ఈ+ℎ଴푆(푇−푡)൱ 휎௠ଶ=휎ଶ൫1+ℎఙ푠푖푔푛(훤)(푆ଶ훤)ఉ൯ 实证结果表明，α ∈ (0.3,0.7),β ∈ (0,0.3)。并且，模拟结果表明，α,β 的选取对模拟结果并没有产生很大的差异。因此 α,β 的选取实际比较任意，为简便，取 α = 0.5,β = 0。因此 Delta 对冲具有如下函数形式： ∆=휕푉(훿௠)휕푆±൭ℎ௪|훤|0.5+ℎ଴푆(푇−푡)൱ 휎௠ଶ=휎ଶ(1+ℎఙ푠푖푔푛(훤)) 我们的目的是通过模拟，并估算出收益 η = η(hw,h0,hσ) 与风险 휌= 휌 (hw,h0,hσ)，此处收益与风险分别指平均的复制误差与复制误差的方差。通过找到对应不同的风险水平下，最优的 (hw,h0,hσ)值，使得在相同的收益情况下，风险最小。在风险相同的情况下，收益最大。 离散对冲的误差 经典的Black-Scholes模型假设交易员可以连续Delta对冲期权,但在现实中这一点无法实现，除了外汇、黄金等资产在平时是24小时交易外，股票、债券都是在当地时间白天来交易，前一日下午收盘，次日上午再开盘，而次日开盘价和前一日收盘价并不相等，有可能是夜间市场发布新的信息，也可能只是纯粹交易误差。总之，对于很多资产而言，价格连续变化的假设是不成立的。此外，Black-Scholes模型假设交易没有成本，交易员可以无所顾忌的连续交易，而现实中交易是要付出成本的，交易越频繁成本也越大，如果执行所谓的连续交易，那交易员可能要负担超出收入的高额成本。Black Scholes模型还有一个假设是标的资产可以任意分割，现实中可交易的标的资产是有最小单位的，极端来说，沪深300 股指期权每份合约价值6、70万元，如果挂钩沪深300指数的期权合约面额小，那没法频繁调整对冲的期货仓位，因为即使沪深300指数涨了5%，可能对冲所需的期货合约还是没变。基于上述种种理论与现实的矛盾，可以看出交易员很可能无法也不会选择连续对冲，而是选择离散对冲。 华泰期货|量化策略专题报告 2019-05-29 4 / 12 离散对冲特性分析： 1．是选择一种好的标的资产价格模型，这样就可以在离散状态下对期权 进行定价，例如我们假设标的资产价格： 푆=푒௫ 其中： 훿௫=ቆ휇−휎ଶ2ቇ훿௧+휎휙훿푡భమ 这是描述标的资产价格的连续时间随机微分方程的离散时间版，휙是一个来自于标准正态分布的随机变量，而휙훿푡12就取代了连续时间随机微分方程中的Wiener过程。其实这里的价格路径也可以不是很多模型都在使用对数正态分布，即휙并不一定要服从正态分布，也可服从其他根据实证分析发现的分布。波动率的估计和对冲调仓频率都应该是一致的，例如都以훿푡为时间间隔。 2．根据Black-Scholes模型，我们构建一个对冲组合： Π=V−∆S 其中V是期权价值，S是标的资产价格，∆是对冲所需要的标的资产份数。与Black-Scholes模型一样，我们需要根据对冲的思想来推导出期权价值服从的方程。运用泰勒展开式展开得到： 훿Π=δ푡భమ퐴ଵ(휙,∆)+훿푡퐴ଶ(휙,∆)+훿푡퐴ଷ(휙,∆)+⋯ 实际上，V和它的导数在每一个 퐴푖，但是只有휙和∆表达出来。例如，第一项퐴1表达式如下: 퐴ଵ(휙,∆)=σ휙푆൬휕푉휕푆−∆൰ 同理，第二项퐴2表达式为： 퐴ଶ(휙,∆)=휕푉휕푡+푆൬휕푉휕푆−∆൰ቆ휇+12휎ଶ(휙ଶ−1)ቇ+12휎ଶ휙ଶ푆ଶ휕ଶ푉휕푆ଶ 3．选择∆以减小훿Π的方差，我们得到： 푣푎푟[훿Π]=E[훿Πଶ]−(퐸[훿Π])ଶ 华泰期货|量化策略专题报告 2019-05-29 5 / 12 通过最小化方差，我们寻找∆以使得： 휕휕∆푣푎푟[훿Π]=0 故而∆最优可以表示为： ∆=∂V휕푆=훿푡(...) 通过Delta对冲消掉标的资产价格风险后，再加上构建Π的资金成本,则对冲结果表达式如下： 휕푉휕푡+12휎ଶ휙ଶ푆ଶ휕ଶ푉휕푆ଶ−r൬푉−휕푉휕푆푆൰ 我们通过对其求期望值，并重新整理得到： 휕푉휕푡+12휎ଶ푆ଶ휕ଶ푉휕푆ଶ−r൬푉−휕푉휕푆푆൰+12휎ଶ(휙ଶ−1)푆ଶ휕ଶ푉휕푆ଶ 其中第一项휕푉휕푡表示由于期权时间价值变化带来的对冲损益，12휎2푆2휕2푉휕푆2表示 Gamma风险带来的期望损益，−rቀ푉−డ௏డௌ푆ቁ表示构建Π组合引起的资金借贷的成本或收益，12휎2(휙2−1)푆2휕2푉휕푆2表示Delta对冲的误差项，由于휙服从标准正态分布，所以这一误差项就服从自由度维1的卡方分布，且均值为0。即如果交易员对冲次数足够多的话，对冲损益误差的均值应当是服从均值为0的正态分布，因为卡方分布的自由度如果一直增加，卡方分布会趋紧于正态分布。但是如果合约时间期限很短，例如一共就5天，那么对冲次数无法足够多，这个时候对冲损益的均值也还是服从卡方分布，但卡方分布与正态分布有一个很大的不同就是卡方分布的均值与中位数不同，而正态分布的均值与中位数一样大小。由此衍生出来的一个问题就是当对冲次数足够频繁时对冲误差的均值和中位数一样，当对冲次数较少时，中位数和均值就不一样，至于孰大孰小取决于Gamma。 华泰期货|量化策略专题报告 2019-05-29 6 / 12 图1：卡方分布与正态分布对比 数据来源：华泰期货研究院 从图1中可以看出正态分布左右对称，自由度越小的卡方分布偏态越严重，而自由度越大的卡方分布越区趋近于正态分布。假如用上述三种分布来代表3种不同的对冲频率的话，那么自由度为5的卡方分布可以认为是某段时间内对冲了5 次的误差分布，自由度为20的卡方分布可以认为是某段时间内对冲了20次的误差分布，而正态分布可以认为是某段时间内对冲了无穷多次的误差分布。一个有意思的事实是不论你对冲频率有多大，损益的期望值是0，但是中位数大不相同。 假设交易员买入了期权并进行Delta对冲，如果Gamma小于0，则对冲次数越少，中位数越小。相反Gamma小于0时，对冲次数越多