量化专题报告：华泰期货波动率曲面拟合系列报告（一）-避繁就简却明效大验的SVI模型

期货研究报告|量化专题报告2023-07-25 华泰期货波动率曲面拟合系列报告（一）—— 避繁就简却明效大验的SVI模型 研究院量化组 研究员 高天越 0755-23887993 gaotianyue@htfc.com从业资格号：F3055799投资咨询号：Z0016156 联系人 李光庭 0755-23887993 liguangting@htfc.com从业资格号：F03108562 李逸资 0755-23887993 liyizi@htfc.com从业资格号：F03105861 投资咨询业务资格： 证监许可【2011】1289号 摘要 BS模型假设标的资产价格服从波动率恒定的几何布朗运动，而波动率曲面拟合的目的是为了引入随行权价或到期日期而变化的隐含波动率函数。波动率曲面拟合通过根据不同期限和行权价的历史数据，拟合�一个平滑的波动率曲面，使得标的资产价格的波动率随着时间和价格的变化而变化。因此，波动率曲面拟合是对BS模型的改进和完善。本系列报告主要关注波动率曲面拟合模型对于商品期权做市商的帮助作用。 首先，波动率曲面拟合有助于保证无严格套利机会。平价套利、垂直套利和蝶式套利的存在为市场参与者创造了无风险套利的机会，波动率曲面拟合模型能够有效挖掘市场上的定价错误，帮助做市商进行纠正，从而减少风险敞口。 其次，从分类上来说，波动率曲面拟合模型分为参数模型、半参数模型和非参数模型。参数模型包括SABR模型、CEV模型、SVI模型、SSVI模型和eSSVI模型等。半参数模型包括Wing模型、样条插值模型等。非参数模型包括无蝶式套利模型等。本专题系列报告第一篇将着重于SVI模型的介绍。 对于SVI模型，SVI模型是受随机波动率模型的启发，然后对隐含波动率曲面进行参数化建模的模型，与极限情况下的Heston模型等同。SVI模型共有五个参数需要拟合，QuasiSVI模型仅需两个参数。由于其理论性和计算简便性成为了业界最广泛使用的波动率曲面拟合模型之一。 核心观点 从拟合效果上看，SVI模型和QuasiSVI模型拟合效果一致，QuasiSVI模型拟合速度较快。SVI模型拟合准确性较高，平值附近拟合效果很好，对深度虚值和深度实值也有较好的拟合效果。曲线总体平滑，符合理论假设，在无严格套利的基础上，较为准确地反映了市场情况。 目录 摘要1 核心观点1 波动率曲面拟合简介4 ■什么是波动率曲面4 ■波动率曲面拟合的作用4 ■本文研究范围4 套利情况分析5 拟合模型一览7 ■参数模型7 ■半参数模型9 ■非参数模型9 SVI模型9 ■SVI模型介绍9 ■QuasiSVI模型介绍10 ■NaturalSVI模型介绍11 ■SVIJump-Wings模型介绍12 ■SVI模型的优势12 实证分析13 ■数据处理13 ■拟合过程13 ■拟合指标14 ■实证结果15 图表 图1:改变各参数对曲线的影响10 图2:NATURALSVI模型形式11 图3:SVIJUMP-WINGS模型假设12 图4:看涨、看跌期权买一卖一隐含波动率的三种情况14 图5:SVI模型拟合结果15 表1:平价套利收益分析（理论收益未计算成本）6 表2:垂直套利收益分析（理论收益未计算成本）6 表3:日历套利收益分析（理论收益未计算成本）7 表4:蝶式套利收益分析（理论收益未计算成本）7 波动率曲面拟合简介 ■什么是波动率曲面 Black-Scholes模型(后称BS模型)是期权定价最常用的模型，其核心假设之一是股票价格服从波动率恒定的几何布朗运动。 然而，波动率恒定的假设与真实市场情形存在较大偏差。从行权价的角度上看，波动率为常数的BS模型在不同执行价的合约之间存在系统性偏差。这种偏差在BS模型所反推�的隐含波动率曲线上的体现为波动率微笑(或波动率斜笑)。从期限的角度上看，波动率微笑现象在近月合约上会更加明显。随着对期权研究的深入，学术界充分意识到BS模型的局限性，部分学者对BS模型进行了不同程度的修改，以弥补模型本身存在的不足。 拟合期权波动率曲面就是金融市场中用于优化BS模型中隐含波动率假设的一种方法。期权波动率曲面是一个三维曲面，其横轴表示不同的到期日，纵轴表示不同的行权价格，而曲面上的每个点则表示对应期权的隐含波动率。拟合期权波动率曲面的目的是通过市场上已有的期权价格数据，利用数学模型来计算�每个到期日和行权价格对应的合理隐含波动率。 ■波动率曲面拟合的作用 波动率曲面拟合在期权市场中扮演着重要的角色，对市场参与者提供了对波动率的准确估计，为定价、风险管理和交易决策提供了有力的支持。下面分别从期权做市商和期权投资者的角度阐述其作用。 对于期权做市商，波动率曲面拟合具有以下两个主要作用。首先，它提供了定价优势。通过估计实时的波动率曲面，做市商能够根据拟合�的隐含波动率确定合理的买卖报价，在避免被无风险套利的基础上，吸引更多交易对手方参与市场。此外，波动率曲面拟合也有助于评估和管理风险敞口，通过监测波动率曲面的变化，做市商可以及时调整定价和交易策略，有效降低风险暴露并保护利润。 对于期权投资者而言，波动率曲面拟合同样具备重要作用。首先，它提供了无风险套利的发现机会。通过对波动率曲面的分析，投资者可以发现期权市场中的价格偏差和波动率的不一致性，从而利用这些机会获得利润。其次，波动率曲面拟合为投资者优化交易策略提供了基础。投资者可以根据波动率曲面的形态和趋势调整交易策略，选择更有潜力的交易机会，优化持仓结构、降低风险，并提高交易的效率和盈利能力。 ■本文研究范围 在本专题报告系列中，我们的研究对象是商品期权的波动率曲面拟合，主要的目标群体是做市商，致力于为商品期权做市商提供更准确的报价和相应的理论支撑。由于商品期权的特殊性，不同期限的商品期权所对应的商品期货标的在时间期限上也不同，所以商品期权的波动率曲面分析中无需过多考虑到期期限这一维度，只需考虑波动率曲线关于价值程度的拟合。我们将特别关注近月期权合约以及平值期权附近的拟合效果。这是因为近月期权合约交易量更大，流动性更好，做市商要面对的风险敞口也更大；另外，平值期权附近的Vega较大，隐含波动率的误差将带来较大的价格风险。在波动率曲面拟合过程中，主要解决的三大问题如下： （1）提供报价：由于流动性或其他原因，某些期权合约可能没有有效的市场报价。为了给�合适的报价，我们需要拟合波动率曲面。 （2）防止市场操纵：期权市场易受到市场操纵行为的影响，市场中可能存在非理性行为，导致市场价与真实价值存在偏差。 （3）避免严格套利：期权的特殊性让市场中可能存在日历套利、蝶式套利、垂直套利、平价套利等严格套利机会，波动率曲面要考虑到无套利条件。 套利情况分析 当市场上存在价格偏差时，可能存在无风险套利机会。套利者可以通过买入被低估的期权合约并卖�被高估的期权合约，从价格回归中获取无风险利润。通过拟合波动率曲面，期权做市商可以更准确地估计期权的合理价格，减少市场价格偏差的�现，从而避免无风险套利机会的�现。 期权市场中的无风险套利机会主要有以下几类：平价套利、垂直套利、日历套利和蝶式套利，下面将对四种无风险套利进行分析。 平价套利是一种利用期权定价理论中的Put-callparity关系进行套利的策略。平价套利基于以下原理：在特定条件下，同一标的资产、相同到期时间的看涨和看跌期权之间存在一个关系，即它们的合理价格应该保持一致。根据Put-callparity关系，对于同一标的资产、相同到期时间的看涨和看跌期权，它们的价格之间应满足如下等式关系：假设�是标的资产价格，�是看涨期权的价格，�是看跌期权的价格，�是行权价，�是无风险利率，�是到期时间，那么Put-callparity关系可以表示为：�−�=�−�×𝑒−𝑟�。 平价套利的核心思想是，当Put-callparity关系不成立时，套利机会�现。如果市场上的看涨期权和看跌期权的价格之间存在差异，违反了Put-callparity关系， 投资者可以同时进行买入低价的期权合约并卖�高价的期权合约，以实现价格差额的无风险套利收益。 表1:平价套利收益分析（理论收益未计算成本） 套利类型 交易方向 品种 理论收益 买入 标的证券 正向套利 买入卖� 同月份同行权价看跌期权同月份同行权价看涨期权 �+𝐾𝑒−𝑟�−�−𝑆0 卖� 标的证券 反向套利 卖�买入 同月份同行权价看跌期权同月份同行权价看涨期权 �+𝑆0−�−𝐾𝑒−𝑟� 数据来源：华泰期货研究院 垂直套利是一种基于同一到期时间、不同行权价的期权合约之间的价格差异进行套利的策略。在垂直套利中，只要套利组合构建的成本小于0，投资者可以买入或卖�高行权价看涨期权，并同时反向买卖低行权价期权合约来获取无风险套利收益。 套利类型交易方向品种价格区间理论收益 表2:垂直套利收益分析（理论收益未计算成本） 牛市看涨期权套利 买入低行权价看涨期权 𝑆�≥𝐾2𝐾2−𝐾1>0 𝐾1≤𝑆�≤𝐾2𝑆�−𝐾1>0 牛市看跌期权套利 卖�高行权价看涨期权 买入低行权价看跌期权 𝑆�≤𝐾10 𝑆�≥𝐾20 𝐾1≤𝑆�≤𝐾2𝑆�−𝐾2<0 *𝐾1为低行权价，𝐾2为高行权价。 卖�高行权价看跌期权 𝑆�≤𝐾1𝐾1−𝐾2<0 数据来源：华泰期货研究院 日历套利是一种利用同一标的资产但到期时间不同的期权合约之间的价格差异进行套利的策略。在日历套利中，投资者会同时买入一个到期时间较远的期权合约并卖�一个到期时间较近的期权合约。只要套利组合构建的成本小于0，投资者可以获得无风险的时间价值收益。 表3:日历套利收益分析（理论收益未计算成本） 套利类型交易方向品种近月到期远月到期理论收益 看涨期权日历套利 买入远月看涨期权 卖�近月看涨期权 𝑆𝑇1≤�𝑆𝑇2≤�0 𝑆𝑇1≤�𝑆𝑇2>�𝑆𝑇2−�>0 𝑆𝑇1>�𝑆𝑇2≤��−𝑆𝑇2>0 𝑆𝑇1>�𝑆𝑇2>�0 *𝑇1为近月到期时间，𝑇2为远月到期时间，�为共同的行权价。 数据来源：华泰期货研究院 蝶式套利是一种基于不同行权价的期权合约之间的价格差异进行套利的策略。在蝶式套利中，投资者会同时买入两个行权价较低和较高的期权合约，并卖�两个行权价位于中间的期权合约。只要蝶式套利组合构建的成本小于0，投资者可以获取稳定的无风险套利收益。蝶式套利通常适用于市场预期价格在一定范围内波动或保持稳定的情况下，以获取期权合约之间的差额利润。 表4:蝶式套利收益分析（理论收益未计算成本） 价格区间 买入𝐾1看涨期权 卖🎧𝐾2看涨期权 买入𝐾3看涨期权 收益合计 数量（张） 1 2 1 �<𝐾1 0 0 0 0 𝐾1≤�<𝐾2 �−𝐾1 0 0 �−𝐾1>0 𝐾2≤�<𝐾3 �−𝐾1 𝐾2−� 0 𝐾3−�>0 �≥𝐾3 �−𝐾1 𝐾2−� �−𝐾3 0 数据来源：华泰期货研究院 由于商品期权同品种不同期限的标的期货合约不同，日历套利不再是一个无风险套利策略，因此本系列报告不会考虑无日历套利的假设。这些无风险套利策略都依赖于市场中的价格异常和价格波动，投资者可以通过以上无风险套利策略有效地利用这些差异，从而获取套利收益。 拟合模型一览 波动率曲面拟合模型包括参数模型、半参数模型和非参数模型。本文作为商品期权波动率拟合专题报告系列的第一期，将着重于对参数模型中的SVI模型进行介绍。 ■参数模型 参数模型在现实中应用广泛。常见的参数模型包括但不限于以下几种： （1）Heston模型：Heston模型是一种常见的随机波动率模型，用于描述金融市场中波动率的动态变化。它是在BS模型的基础上引入了随机波动率过程，以更准确地描述市场观察到的波动率行为。Heston模型假设波动率是一个均值复归的平方根过程，并把两个布朗运动的相关系数作为参数之一。该模型包括两个主要方程：分别描