期权中的定价内核

联邦储备委员会，华盛顿特区，ISSN 1936 -2854（打印）ISSN2767-3898(在线) 期权中的定价内核 史蒂文·赫斯顿，克里斯·雅各布斯，HyungJoo Kim2023-053 注意：金融和经济讨论系列（FEDS）中的员工工作文件是为激发讨论和评论而分发的初步材料。提出的分析和结论是作者的分析和结论，并不表示其他研究人员或理事会成员的同意。在出版物中引用的金融和经济讨论系列（除了承认）应清除与作者（S），以保护这些论文的暂定性质。 期权中的定价内核* 史蒂文·赫斯顿马里兰大学克里斯·雅各布斯休斯顿大学HyungJooKim联邦储备委员会 2023年4月7日 Abstract 经验期权估值文献通过风险价格指定了定价内核，或者将其隐含地定义为风险中性和物理概率的比率。相反，我们将具有经济吸引力的Rbistei-Brea内核扩展到允许路径和波动率依赖的动态框架。由于统计能力较低，具有不同经济属性的内核可以产生相似的整体期权拟合，即使它们暗示了横截面定价异常和不合理的风险溢价。施加单调性和路径独立性（恢复理论）等简约的经济限制，可以实现良好的期权拟合和对权益和方差风险溢价的合理估计，同时解决定价内核异常。 1Introduction 定价核心是资产定价中的一个关键概念，因为它决定了所有证券的风险溢价。一种研究定价内核属性的方法指定了其与总消费的关系，并使用消费数据和各种资产的回报来估计所得模型。基于Breede和Litzeberger（1978）的见解，大量文献使用指数收益和指数期权价格来估计定价内核。2指数期权从经验的角度来看很有趣，因为它们在股票指数水平等于总财富的假设下确定了定价内核。然而，这些文献引起了令人费解的非单调(U形)定价核估计。 本文对这两种方法进行了补充。我们在参数期权定价模型中指定了经济上直观的定价内核，并使用指数收益和指数期权价格对其进行估计。我们的方法不同于现有的参数文献，后者通常指定风险价格，从而将定价内核隐含地定义为风险中性和物理概率的比率。我们提出了一类经济动机的定价内核，将Rbistei（1976）和Brea（1979）中的幂核扩展为潜在方差路径的函数。v(t)和指数水平S(t）。这些内核也嵌套路径无关内核（Ross，2015）作为特殊情况，并且与平方根随机波动率模型（Heston，1993）中物理和风险中性度量下的仿射动力学的常规假设一致。5通过包括波动率和股票风险的单独成分，这些内核使我们能够 1除其他外，请参阅汉森和辛格尔顿（1982），梅拉和普雷斯科特（1985），汉森和贾格纳坦（1991），坎贝尔和科克伦（1999），班萨尔和亚伦（2004），加贝克斯（2012）和瓦赫特（2013）对该文献的重要贡献。2例如，见A? t - Sahalia和Lo (1998)、A? t - Sahalia和Lo (2000)、Jackwerth和Rubinstein (1996)、Jack - werth (2000)和Rosenberg和Engle (2002)。3有关U形定价内核的证据，请参阅例如Jacwerth（2000），Aüt-Sahalia和Lo（2000），Roseberg和Egle（2002），Bashi，Mada和Paayotov（2010），Chabi-Yo（2012）另一方面，Li，Shive和Shmway（2018）和Baroe-Adesi，Fsari，Mira和Sala（2020）认为定价内核行为良好。4有关这种方法的示例，请参见Chernov和Ghysels（2000），Pan（2002）和Eraker（2004）的开创性论文。5为简单起见，我们使用了具有随机波动率因子的最简单的可能的期权定价模型，但是我们的方法可以很容易地推广到更复杂的模型。 检查权益和方差风险溢价的不同来源。 我们从股票(市场)风险溢价的常用规范开始我们的分析μv(t)和方差风险溢价λv(t）。我们将本规范称为“完全仿射”，采用了Singleton（2006，第392页）和期限结构文献中的术语。我们表征了与这些风险溢价一致的定价内核，并推导了与martingale条件和无套利一致的参数限制。然后，我们探索了具有股权风险溢价的规范μ0μ1v(t)和方差风险溢价λ0λ1v(t).我们将本说明书称为“仿射”。Sigleto（2006）指出，这个规范是有问题的，因为它可能违反无套利条件，并指出，为这个规范描述阻止套利的参数限制将是很有趣的。由于我们的内核被公式化为状态变量的函数，因此指定此类限制很简单。 我们的实证分析使用基于指数收益和丰富期权数据集的联合似然，使用1996年1月至2019年6月期间的数据。6我们估计了与风险的完全仿射和仿射价格相对应的定价内核的这种联合似然，并且我们还估计它受到参数值和风险溢价的各种限制。由于内核被公式化为状态变量的函数，因此相对简单地得出每个内核对“边际”内核的含义，该内核将状态价格指定为的函数。S(t）。边际内核在定价内核难题等实证应用中起着核心作用。 第一个经验结果解决了支持完全仿射和仿射风险价格的内核的拟合和经验内容。不出所料，我们发现风险的仿射价格比嵌套的完全仿射规范提供了明显更好的拟合。然而，由于仿射规范中的截距而导致的改进拟合是以令人难以置信的夏普比率和/或风险溢价迹象为代价的。此外，尽管完全仿射规范的边际定价内核表现良好且在经济上合理，但中的内核。 6许多现代期权定价文献共同考虑了可观察到的收益和期权价格的时间序列。例如，参见Pan（2002），Eraker（2004），Bates（2006），A ü t - Sahalia和Kimmel（2007），Hurn，Lindsay和McClelland（2015）以及Andersen，Fusari和Todorov（2017）。 仿射案例意味着作为财富函数的S形国家价格。当我们施加附加参数限制以排除套利时，边际定价内核表现良好，但经验拟合恶化。我们得出的结论是，仿射规范对应于不合理的经济假设，并且对文献中使用的风险规范价格的微小且看似无害的修改对应于具有根本不同经济含义的不同定价内核。因此，我们提倡使用风险规范的完全仿射价格。 第二组结果将支持完全仿射风险价格的无限制内核与受限版本进行比较。我们拒绝股权或方差风险溢价为零的限制，但我们不能拒绝定价内核与方差或市场收益冲击的独立性。7我们无法在统计上确定这些风险溢价的起源，因为创新对市场收益和市场方差高度（负相关）。权益风险溢价和方差风险溢价各有两部分，一个是由于方差厌恶，另一个是由于指数层面的风险厌恶。如果我们将其中一个风险厌恶参数限制为零，则另一个参数吸收了大部分影响。换句话说，这些风险很大程度上是相互交叉的。然而，将方差或指数水平的风险厌恶限制为零意味着对权益和方差风险溢价的估计完全不同，以及作为财富函数的边际定价内核中体现的状态价格的巨大差异。与不受限制的内核相比，没有波动风险的内核的已实现时间序列路径的变化也要小得多，尤其是在危机时期。最后的观察是，虽然我们不能在统计上拒绝Ross（2015）中使用的路径独立性限制，但它暗示了方差厌恶参数的不合理估计。 我们的第三个发现揭示了现有文献中的定价内核之谜-边际定价内核是U形的发现。我们证明了U形边际内核可以由基础定价内核产生，该定价内核是波动率和股票价格的单调函数。因此，U形定价内核不是异常的，也不构成资产定价 7请注意，方差厌恶参数等于零的假设相当于不存在独立方差风险溢价，这相当于Merton（1973）ICAPM中的对数效用。 拼图。 我们的第四个发现涉及风险溢价的估计。根据Breede和Litzeberger（1978）的见解，风险中性密度可以从期权价格中推断出来，金融经济学家强调共同拟合期权和收益以识别风险溢价。我们发现，这些数据区分不同定价核的能力较低，因为识别定价核等同于对条件风险溢价的估计，并且很难估计短期的平均收益。8不同的参数限制导致夏普比率和权益和方差风险溢价大不相同，但不要转化为可能性的大幅下降。Merto（1980）令人信服地认为，要获得可靠的股权溢价估计，需要非常长的时间序列的收益。我们的发现将默顿的观察结果扩展到对权益和方差风险溢价的联合估计。我们还强化了默顿的结论，即经济限制增加了识别市场风险溢价的能力。尽管Merto（1980）主张对条件股权风险溢价的路径施加积极限制，但我们发现，对市场方差风险溢价施加消极限制会导致更合理和可靠的估计。我们的研究结果也证实了Bashi，Crosby和Gao（2022）的结果，即由于（暗物质）影响风险溢价的未跨越风险，一些期权模型参数难以识别。除了有关参数期权定价模型的估计和定价核难题的文献外，我们的论文还涉及其他几类文献。一些研究使用基于消费的模型来分析偏好和定价内核如何影响指数期权价格。9其中一些研究使用了Kreps和Portes（1978），Epstei和Zi（1989）以及Dffie和Epstei（1992）的递归偏好，这导致了指数收益的随机波动。我们提出的定价内核是鲁宾斯坦(1976)权力效用的扩展。虽然消耗不是我们设置中的状态变量，但我们的方法 提供了与现有帝国的直接关系。 cal实现（简化形式）参数动态期权定价模型。因此，使用期权数据实现是简单的，这使我们能够探索股票指数波动对定价内核的影响。 从实证的角度来看，相关论文是Cherov（2003），他对基于各种证券期权的定价内核进行了逆向工程。Cherov（2003）还研究了已实现定价内核的时间路径，以了解状态变量以及定价内核与经济条件之间的关系。Ghosh，Jlliard和Taylor（2017）也探讨了定价内核与商业周期波动之间的关系，但不使用期权来估计内核。Brea，Li和Xia (2006)指定和估计具有多个状态变量的定价核。Beaso和Schreidorfer (2022)分析了期权数据对宏观金融模型的影响。Dew - Becer和Giglio（2022）研究了合成投入对边际定价内核属性的影响。 本文的内容如下。第二节讨论数据。第3节回顾了Hesto（1993）随机波动率模型，并讨论了我们基于收益和期权数据的估计方法。第4节规定了连接风险中性和物理动力学的定价内核类别。第5节介绍了估计结果，第6节讨论了它们的经济影响。第七节结束。 2Data 我们的实证分析使用1996年1月至2019年6月期间到期日在14天至365天之间的S&P500看涨期权和看跌期权。我们从OptionMetrics获得期权数据。我们应用以下过滤器: 1.丢弃隐含波动率小于5%或大于150%的期权。2.放弃成交量或未平仓权益少于10个合约的期权。3.丢弃中等价格低于$0.50或投标价格低于$0.375避免低估值期权。 4.丢弃有数据错误的期权-买入价超过卖出价，或者通过看跌看涨平价隐含负价格。 5.用金钱丢弃选项<0.75或>1.25. 然后，我们保留每个可用到期日的六个交易最活跃的执行价格。重要的是使用尽可能长的时间段来识别模型的关键方面，包括波动率持久性。10另一方面，使用大型期权面板和长时间序列进行估计是非常耗时的。我们不使用每日期权数据的短时间序列，而是使用延长的时间段，但我们选择每周仅一天的期权合约。在几项现有研究之后(参见，e。Procedre，Hesto和Nadi，2000年；Christofferse，Hesto和Jacobs，2013年），我们使用星期三的数据，因为它是一周中最不可能是假期的一天。与其他日子相比，受星期几影响的可能性也较小。这些步骤产生具有62, 483个期权合约的数据集。表1列出了描述性统计数据。 我们从CRSP获得标准普尔500指数回报。我们使用1990年1月至2019年6月期间的数据。该样本在期权样本之前开始，以帮助识别物理测量下的收益参数，如Christofferse，Hesto和Jacobs（2013）。我们还使用1990年1月至2019年6月的VIX数据，这些数据是从