养老目标日期基金动态资产配置与下滑曲线_Merton模型

证券研究报告/金融工程报告 2023年1月11日 养老目标日期基金动态资产配置与下滑曲线——Merton模型 分析师：包赞电话：18017505196执业编号：S0740522070001Email：baozan01@zts.com.cn 风险提示：本报告结论完全基于公开的历史数据进行统计、测算，文中部分数据有一定滞后性，同时存在�三方数据提供不准确风险；模型均基于历史数据得到的统计结论且模型自身具有一定局限性并不能完全准确地刻画现实环境以及预测未来；模型根据历史规律总结，历史规律可能失效；模型结论基于统计工具得到，在极端情形下或存在解释力不足的风险，因此其结果仅做分析参考。本报告提到的任何基金产品不构成任何投资收益的保证或投资建议。 报告摘要 ◆个人养老金制度落地 “老龄化”和“少子化”成为我国现阶段人口年龄结构的主要特征，构建多层次养老保障 体系成为“老有所养”的重要组成部分。在此背景下，我国养老�三支柱——个人养老金制度终于在2022年末落地。《个人养老金实施办法》规定，参加人每年缴纳个人养老金额度上限为12000元，实行个人账户制，缴费完全由参加人个人承担，自主选择购买符合规定的储蓄存款、理财产品、商业养老保险、公募基金等金融产品。在美国，目标日期基金正在迅速成为固定缴存模式下的主战产品。曾在六年中,目标日期基金的资产增长了五倍多,从2005年底的710亿美元增长到2011年底的3780亿美元。在最新的研究中,Vanguard报告称,82%的退休计划提供目标日期基金,其中近四分之一的参与者只投资于目标日期基金。可见目标日期基金在个人养老金产品中的核心地位。 ◆目标日期基金简介 目标日期基金与普通基金最大的区别有两点，一是目标日期基金有定期的缴存资金进入产品；二是产品期限长，需要到期才能取出资金。所以目标日期基金的目标是期末的财富最大化，我们需要找到一种资产配置的动态轨迹，使得期末的组合效用最大化。其框架大致如下： a*=argmaxé(X)ù ttIëTúû s.t.dXt=adSt+(1-a)dBt,T+ptdtXtStBX ttt,Tt 该框架与传统的资产配置模型最大的区别是，其理论基础是随机微积分，和均值方差下的二次规划显著不同，求解的复杂度高出很多，需要用到动态规划中HJB等式等理论。 ◆下滑曲线 所谓下滑曲线，指的是目标日期基金的权益仓位随着到期日的临近，逐步下降，呈现下滑趋势。它是动态资产配置模型的结论，实际投资中需要根据这个大的资产配置框架定期调整权益资产仓位。下滑是因为初期权益仓位高，越往后仓位越低，对于下滑形态的解释，很多文献都有偏误，认为年轻时期风险偏好高，所以超配风险资产。模型显示，在风险偏好恒定的假设下，只要未来缴存资金不为零，就会出现下滑；否则不会出现下滑，权益仓位的比例为常数，这个常数在金融中叫做Merton比例（Mertonratio）。 ◆下滑曲线影响因素 模拟计算中缴存基数参数按照《个人养老金实施办法》的上限要求，设置为12000元，缴 存资金每年上浮的金额，我们暂时设置为500元，期限设置为50年，股票预期收益设定为12%，波动设置为28%，债券收益率设置为3.5%，在这个情况下，Merton比例为27%，下滑曲线见左边栏图。下滑曲线会受各个参数影响，股票预期收益越高、风险厌恶参数越大、股票波动越小都会带来权益仓位更高的下滑曲线，反之下滑曲线左移。 正文目录 1.动态资产配置简介3 2.目标日期基金4 3.Merton模型理论7 4.下滑曲线数值计算11 5.总结17 图表目录 图1：动态资产配置跨期迭代求解示意图3 图2：有效前沿与分离定理4 图3：目标日期基金权益资产占比动态轨迹5 图4：FidelityClearPath养老组合下滑曲线6 图5：下滑曲线13 图6：不同风险厌恶参数下滑曲线13 图7：不同股票收益率下滑曲线14 图8：不同缴存资金增量下滑曲线14 图9：不同缴存资金上限下的下滑曲线15 图10：不同债券收益的下滑曲线15 图11：不同股票波动率下的下滑曲线（股票收益设置为0.08）16 表1：不同参数下的Merton比例11 表2：下滑曲线计算参数设置12 表3：风险资产配置与年龄16 1.动态资产配置简介 目标日期基金动态资产配置是组合优化问题中的一种，比Markowitz均值方差组合优化问题更复杂、更前沿，均值方差问题用的是二次规划方法，动态资产配置用到的方法是马尔可夫决策过程(MDP)。由于该领域被不同领域和背景的学者都有研究，叫法很多样，叫动态规划、随机最优控制、强化学习、动态资产配置的都有，它们都是MDP的变种，描述的都是同一个问题。 HarryMarkowitz1952年发表在JF上的论文《投资组合选择》代表金融理论诞生,首次在金融中引入了二次规划方法。HarryMarkowitz,WilliamSharpeandMertonMiller(UChicago，Booth)1990年获得诺贝尔经济学奖时候，代表着这个学科已经走向成熟，获得认可。金融理论已经变得越来越数学化，以至于金融问题正在推动数学研究。 均值方差框架： 动态资产配置框架： min x s.t. wTåweTw=1rTx=m [s] ë Jt(Wt)=maxéu(WT)∣Wtù s.t.W T-1I x s=t s+1 sss+1 =W⋅(x¢Re +Rf) úû 6s³t 1969年，RobertMerton(MIT,SLOAN)发表了“LifetimePortfolioSelectionUnderUncertainty:TheContinuous-TimeCase”。在这个文章中罗伯特默顿将随机微积分引入金融学的研究中（1997年诺贝尔经济学奖）。他提出了另一种不受Markowitz均值-方差法静态性质影响的动态投资组合优化方法。该方法研究的是资产比例的动态衍化，与均值方差理论大为不同的是，该框架目标函数是未来到期日的效用最大化，更有现实意义。不过，这种倒向递归的优化问题不好求解，很多时候没有解析解，需要用到数值方法。 图1：动态资产配置跨期迭代求解示意图 资料来源：中泰证券研究所 2.目标日期基金 2.1分离定理与资产配置之谜 1952年,马科维茨提出了�一个投资组合优化的数学公式。对于马科维茨来说,"投资者确实(或应该)希望获得预期回报,而不想获得波动。”事实上,Markowitz表明,有效的投资组合是在给定风险水平下使预期收益最大化的投资组合。Markowitz总结道，不仅有一个最优投资组合还有一组被称为"有效前沿"的最优投资组合。通过研究流动性偏好,Tobin(1958)表明,在存在无风险资产的情况下,有效边界变为一条直线。在这种情况下,最优投资组合对应于无风险资产和一个特定有效投资组合的组合即切线投资组合。Sharpe(1964)将Markowitz和Tobin的结果总结如下:“投资选择过程可分为两个阶段:�一,选择风险资产的最佳组合;�二,在这种组合和单一无风险资产之间进行资金分配"。这两步程序被称为分离定理(Lintner,1965)。他讲述的是，资产配置的风险资产内部的比例是固定的，对应于不同的风险偏好，我们只需要调整无风险资产的占比。分离定理对我们实战投资最大的指导就是：仓位管理是控制风险的核心，如果认为有风险或者可能有风险，那么首先要做的就是降低风险资产的仓位，寻找合适的时机再加仓。 图2：有效前沿与分离定理 资料来源：中泰证券研究所 在图1中，我们展示了这些结果。�一个小组代表了马科维茨在股票和债券之间的有效边界。通过将最大夏普组合和无风险利率相结合,我们获得了资本市场线。在�二个图中,我们展示了与风险厌恶参数的不同值相对应的最优投资组合的风险/收益曲线。激进的(A)投资者利用切线投资组合，以承担更多风险并期望更好的业绩。对于中等(M)风险厌恶投资者,最优投资组合接近切线投资组合。保守的(C)投资者将承担更少的风险,因此他们将财 富分配在切线投资组合(风险资产)和无风险资产之间。 现实投资中的做法与分离定理的做法差异很大，�三个图展示的是我们业界的组合配置方法，我们区分三种基金类型:防御性、平衡型和动态型。它们之间的差异来自于股票和债券的相对比例。这意味着在实战中,风险投资组合的组成会根据投资者的风险厌恶程度而变化。这种投资组合结构与分离定理相矛盾,分离定理指出,所有投资者的风险投资组合的内部构成应该是相同的，不同的只是风险资产的仓位不同。比如分离定理告诉我们，股债比例永远是1:2，只是股债加在一起的仓位不同，高风险组合股占比30%，债占比60%，现金占比10%，低风险组合股占比10%，债占比20%，现金占比70%。这个悖论，被称为资产配置之谜（assetallocationpuzzle），大量文献试图去解释这个悖论。 如果分离定理是最基本、最正确的理论的话，那另一个谜就是目标日期基金的资产配置，目标日期基金的风险资产比例也不是固定的，受投资者风险厌恶系数的影响。在目标日期基金中，风险资产的比例受到退休日期的影响，年轻时候，高风险资产的比例会更高，年老时候高风险资产比例会大幅降低。目标日期基金改变资产配置的动态轨迹被称为"下滑曲线"。当然下面演示图中，这个线是平滑的，我们报告展示的Merton模型也是平滑的，平滑是因为假设比较完美，有解析解。更接近现实的模型，利用数值方法去计算的下滑曲线，一般都不会像下图一样“丝滑”。 图3：目标日期基金权益资产占比动态轨迹 资料来源：中泰证券研究所 2.2美国目标日期基金的发展 自21世纪初以来,目标日期基金在欧美一直受到欢迎。其中一个原因是从给付确定制(definedbenefit，DB)向缴费确定制(definedcontribution，DC)养老金计划的重大转变,以及投资风险从投资机构转移到个人。另一个原因与某些监管改革和税收优惠有关。例如,美国2006年《养老金保护法》要求养老金计划资金不足的公司向养老金福利担保公司支付更高的保费。DB负债可能会为发起人带来巨额养老金成本,并促使发起人推动DC养老金计划。在此背景下,目标日期基金遭遇高增长并不奇怪:目标日期基金正在迅速成为固定缴存格局的一个固定特征。在六年中,目标日期基金的资产增长了五倍多,从2005年底的710亿美元增长到2011年底的3780亿美元。在最新 的研究中,Vanguard报告称,82%的退休计划提供目标日期基金,其中近四分之一的参与者只投资于目标日期基金。CaseyQuirk估计,到2030年，目标日期基金将获得所有定义贡献资产的一半以上。 这也是一个集中的行业,因为根据晨星的报告,三家资产管理公司(富达、先锋和T.RowePrice)持有78%的目标日期共同基金。之前的数据仅涉及开放的目标日期资产，而不是退休系统中管理的整体目标日期资产。InvestmentCompanyInstitute(2012)报告称,截至2011年底,美国退休资产为17.9万亿美元。最大的组成部分是IRA(4.9万亿美元)、DC计划(4.5万亿美元)和私人DB养老基金(2.4万亿)美元。对于DC计划，资产配置取决于参与者的年龄：平均而言,较年轻的参与者将其投资组合的较大部分分配给股票，根据ICI和员工福利研究所(EBRI)进行的研究，截至2010年底,20多岁的个人将其资产的44%投资于股票基金和公司股票,37%投资于目标日期基金和非目标日期平衡基金。总而言之,20多岁的参与者有74%的401(k)资产是股票。相比之下,在2010年底,60多岁的个人将其41%的资产投资于股票基金和公司股票,16%投资于目标日期基金和非目标日期平衡基金。总之，60岁的参与者将其401(k)资产的49%投资于股票(投资公司协会,2012年)。事实上，目标日期基金分别占20多岁和60多岁个人DC计划资产的27%和9%。因此,这证实了目标日期基金对年轻参与者的吸引力。 2.3下滑曲线设计简介 目标日期基金的一大挑战是下滑曲